Modèles et Outils de calcul, pour les systèmes dynamiques
Les formules mathématiques seront écrites en toutes lettres,
pour qu'elles puissent être accessibles aux aveugles,
qui utilisent un logiciel de revue d'écran comme Jaws, par exemple.
Les conventions de notations sont celles qui permettent une lecture orale, comme on le fait en cours.
Pour plus de détails, consultez le lien suivant :
Lien externe :
conventions d'écriture des formules mathématiques,
pour qu'elles soient accessibles aux aveugles
Remarques générales sur les modèles d'équations d'évolution
Les modèles réalistes,
sont adaptés au cadre physique auquel ils s'appliquent.
On peut conserver le modèle du milieu continu,
même pour des matériaux qui ont une certaine structure, comme les cristaux liquides.
Il s'introduit une cinématique plus compliquée,
qui fait intervenir un directeur qui caractérise l'orientation moyenne des batonets dans les nématiques, par exemple.
En physique de la matière condensée, on abandonne l'hypothèse du milieu continu, car l'echelle de longueur caractèristique est de l'ordre du micron
(polymères dans leur solvant)
Les modèles proposés sont souvent des modèles quantiques.
Enfin, pour la nanophysique, l'échelle est de l'ordre de quelques dizaines de nanomètres
(un nanomètre = un millionième de milimètre)
Les hypothèses sont complètement différentes, car les forces de surface deviennent importantes devant les forces d'inertie.
Il faut tenir compte du principe d'incertitude d'Heisenberg,
qui exprime que l'on ne peut pas mesurer la position et la quantité de mouvement avec la même précision.
Les théories sont à la fois quantiques et relativiste (théorie quantique des champs)
Il n'est pas question de parler ici de ces modèles, réservés aux spécialistes de ces disciplines.
Pour faire comprendre les difficultés rencontrées dans l'étude des systèmes dynamiques,
je pense qu'il vaut mieux procéder du particulier au général.
Les modèles réguliers, dans un espace de phase à une dimension,
permettent de visualiser immédiatement les bassins (domaines d'attraction)
des solutions asymptotiquement stables.
Ils nous permettent de comprendre simplement ce que sont les cas critiques et la théorie du branchement (car la transversalité se réduit alors à la "non-tangence")
Enfin, on comprend pourquoi il faut tenircompte des termes non linéaires dominants, dans les cas critiques, pour pouvoir conclure à la stabilité ou non.
On abordera la complèxité, rencontrée dans les systèmes moins réguliers ou de dimension supérieure,
en essayant de partir d'une situation simple (une seule cellule de Poincaré)
On fera varier un paramètre,
qui permettra d'obtenir de nouvelles solutions, par déstabilisation.
On donnera des exemples de problèmes bien ou mal posés, au sens d'Hadamard.
Les modèles étudiés,
plus simples que ceux rencontrés dans les modèles physiques,
nous permettrons de mettre l'accent sur les difficultés numériques, rencontrés pour la construction d'approximations,
valables pour des grands temps
(propagation des erreurs d'arrondis,
calculs avec une précision arbitraire, tests de redondance...)
On donnera des algorithmes de résolution,
qui illustreront ces problèmes
(méthode de Newton en ligne, avec une précision arbitraire...)
Modèles mathématiques d'équations d'évolution
On trouve des modèles à temps continu et à temps discret.
Equations d'évolution à temps continu
On trouve les systèmes différentiels du premier ordre, autonomes ou nom,
qui modèlisent les mouvements des particules, des solides rigides, de la cinétique chimique....
Il faut leur ajouter les systèmes d'équations aux dérivées partielles,
qui s'introduisent dans les théories des milieux continus.
Pour les comportements héréditaires,
on introduit les équations fonctionnelles à argument retardé.
On définit, pour tous ces problèmes d'évolution,
l'ensemble des conditions initiales,
qui assurent que le problème est bien posé au sens d'Hadamard,
c'est à dire pour lesquelles,
on peut démontrer un théorème d'existence, d'unicité et de dépendance assez régulière des données.
L'ensemble des données initiales constitue l'espace de phase,
et le théorème d'existence assure l'existence d'un germe unique de trajectoire,
issu de la donnée initiale,
au voisinage de l'instant initial t0.
Pour des exemples de problèmes bien ou mal posés, consultez :
Lien externe :
écoulements géophysique, exercices sur le cours 1 (exemples de problèmes bien ou mal posés, au sens d'Hadamard
Pour se familiariser avec ces notions, vous étudierez l'équation scalaire dx/dt=p(x,c) où p est un polynôme,
en utilisant le diagramme (x,dx/dt)
Les racines de p sont les solutions d'équilibre et vous placerez sur le graphe de p, les flèches qui correspondent au sens du mouvement.
Vous commenterez (sans faire aucun calcul)
la stabilité des solutions d'équilibre, leurs bifurcations quand c varie...
Systèmes différentiels du premier ordre dans Rn
dX/dt=F(X,t) avec comme exemples mécaniques :
le pendule de Froude,
l'équation de Duffing,
l'équation de van der Pol...
Ces modèles correspondent à l'équation du pendule,
modifié par des termes (autonomes ou non) qui peuvent dépendre de la position et de la vitesse
(excitation extérieure, paramétrique, apport d'énergie ou frottement...)
Le modèle de Van der Pol s'écrit :
dx/dt=y ; dy/dt=-x+a*(1-x*x)*y
Historiquement, l'équation modèle de Van der Pol a montré qu'il peut exister des solutions périodiques isolées (cycles limites)
dans les systèmes différentiels autonomes de R2
Cela a eu une certaine importance en automatique (systèmes autorégulés, feedback...)
Le théorème de Poincaré-Bendixon,
permet de démontrer l'existence de cycle limite.
L'étude de la stabilité d'un cycle limite, peut être faite par la théorie de Floquet.
La recherche des points fixes d'une transformation ponctuelle,
obtenue par une méthode de section de Poincaré,
est un moyen efficace,
pour rechercher numériquement des cycles limites et étudier leur stabilité.
La construction de la frontière du bassin d'attraction d'un cycle limite asymptotiquement stable est importante pour les applications,
car elle permet de savoir comment choisir les conditions initiales,
pour un fonctionnement auto-entretenu (démarrage d'un moteur, par exemple)
D'autres modèles font intervenir un second membre non différentiable.
Par exemple, le modèle de Mandelstam,
qui modélise le frottement sec, est linéaire par morceaux.
Une équation différentielle à argument retardé
dx/dt=f(x(t-t0)) avec t0>0
On généralise cette équation sous la forme d'un système, pour l'analyse compartimentale,
en pharmacie, théorie de la régulation, épidémiologie...
Modèles d'équations aux dérivées partielles
Pour la mécanique des fluides,
on introduit l'équation de Burgers :
du/dt+u*du/dx=eps*d2u/dx2 avec eps>=0
Pour les ondes solitaires, voyez l'équation de Korteweg de Vries.
Pour les problèmes de combustion, voyez l'équation de Kuramoto...
Equation d'évolution à temps discret
On trouve des modèles d'équations d'évolution à temps discrets,
obtenus par l'itération d'une transformation ponctuelle.
Cette transformation peut être un endomorphisme,
un difféomorphisme,
une transformation holomorphe,
une transformation linéaire par morceaux...
Pour plus de détails, consultez :
* Lien externe :
wikipedia, systèmes dynamiques
La transformation ponctuelle peut être obtenue par une méthode de réduction
(méthode de section de Poincaré, méthode stroboscopique)
C'est le cas de la transformation de Lorenz pour l'hydrodynamique,
de Hénon pour la mécanique céleste
Pour la méthode de section (ou méthode du premier retour)
on définit l'application qui associe à la donnée initiale de X0 dans S,
la position X1 du premier passage de la trajectoire, issue de X0,
dans S, choisie comme "surface de section".
Pour que l'itération de S dans S,
soit bien définie, la trajectoire doit être transverse à cette surface de section S.
La transformation ponctuelle peut aussi être introduite pour décrire une évolution discrète,
comme une suite de générations
(dynamique des populations, épidémiologie, économie...)
Elle peut aussi être introduite pour faire comprendre les suites de bifurcations,
qui conduisent au chaos
(transformation du boulanger, de Myrberg, de Mandelbrot...)
C'est par exemple
le cas de la transformation holomorphe z--z2-c de C dans C, avec c complexe.
Les transformations peuvent dépendre d'un ou plusieurs paramètres,
que l'on fait varier pas à pas.
On étudie alors l'apparition ou la disparition de solutions, à partir d'une situation ordonnée, pour laquelle il n'y a qu'un nombre fini de cellules.
On distingue des bifurcations locales et globales.
Quand il n'y a qu'une seule cellule,
on dit que le système est "intégrable",
ou "linéarizable",
et on peut le conjuguer topologiquement
au portrait de phase d'un système linéaire, par un difféomorphisme.
Pour une classification des bifurcations,
consultez :
* Lien externe :
wikipedia, bifurcation theory
On appelle codimension, la dimension de l'ensemble des paramètres que l'on fait varier,
à partir du cas critique.
Pour des bifurcations de co-dimension 1, 2,3 ou 4, pour un potentiel polynomial V(x) et V(x,y),
consultez :
** Lien externe :
wikipedia, catastrophe theory
Simulation numérique et estimation des erreurs
La recherche de solutions particulières des problèmes non linéaires pose des problèmes très différents de ceux du cas linéaire.
Il existe en général, plus d'une solution,
et le choix des conditions initiales,
pour qu'un algorithme itératif converge vers une solution,
nécessite la connaissance d'une estimation de celle-ci.
On peut trouver de telles estimations,
en faisant varier un paramètre,
depuis une valeur pour laquelle le système ne possède qu'une solution,
puis jusqu'à une valeur de bifurcation,
qui modifiera le nombre ou la nature de ses solutions...
On peut aussi développer des méthodes asymptotiques,
pour accélérer la convergence d'une itération.
Des tests de redondance seront nécessaires,
pour estimer la valeur de n,
au delà de laquelle les résultats donnés par une itération ne seront pas fiables.
Approximation pour les systèmes conservatifs
Quand un système possède un invariant, il est fondamental que les calculs numériques ne détruisent pas cette propriété.
Par exemple,
pour les systèmes hamiltoniens de R2
(indépendant du temps)
on éveloppe une méthode simplectique, qui conserve l'intégrale première.
Cette remarque est importante,
car les erreurs d'arrondis transforment les courbes fermées en spirales, les centres en foyers...
Cette remarque s'applique aux équations de Navier Stokes,
pour les mouvements isochoriques d'un liquide,
pour lesquels il y a conservation du volume au cours du mouvement.
L'équation div(V)=0 doit être satisfaite exactement, si possible.
Ce sera le cas pour les mouvements plans,
si l'on formule le problème en utilisant la fonction de courant,
au lieu du champ de vitesse V.
Méthodes asymptotiques, estimation des racines d'un polynôme
Au voisinage d'une bifurcation,
la recherche de solution est mal conditionnée.
Une méthode de "séparation" des racines d'un polynôme,
dont les coefficient dépendent analytiquement d'un petit paramètre,
peut se faire en utilisant le théorème de Puiseux.
A ce sujet, vous pouvez consulter la page ci-dessous :
* Lien externe :
Annexe 4 du cours "écoulements géophysiques", méthodes asymptotiques
Algorithmes pour la construction de solutions particulières, valables aux grands temps
La recherche de solutions d'équilibre, de solutions périodiques,
la construction de frontières de bassins d'attraction...
nécessite le développement d'outils numériques,
comme l'algorithme de Newton dans R puissance n, le prolongement de germe de variétés invariantes...
Pour les systèmes conservatifs, des tests de précision seront développés,
pour vérifier au mieux ce caractère conservatif.
Pour cela, on testera la méthode d'intégration numérique,
en estimant la propagation des erreurs d'arrondis et de troncature,
en utilisant une solution exacte.
Par exemple,on estimera ces erreurs, pour des grands temps,
pour le calcul de la solution cos(t) du système dx/dt=y ; dy/dt=-x
Vous trouverez des exemples de programmes,
qui illustrent le calcul de points fixes et cycles d'ordre k d'une transformation ponctuelle de R et de R puissance 2,
la recherche de solutions périodiques, d'un système différentiel du premier ordre dans R2,
non autonome, à coefficients périodiques
(excitation extérieure ou paramétrique)
...
Rappel de la méthode de Newtondans Rn
Vous pouvez consulter le lien :
* Lien externe :
wikipedia, méthodes de Newton...
Si F(X,C) représente une famille de transformations de Rn dans Rn,
dépendant d'un paramètre C,
on définit la méthode itérative de Newton,
pour la recherche d'une solution isolée X de F(X,c)=0, de la manière suivante :
L'itéré X1 de X0 est obtenu,
en cherchant l'intersection de l'hyperplan tangent au point F(x0,C) avec l'hyperplan Y=0, soit :
-F(X0,C)=dF/dX(X0,C).(X1-X0)
On en déduit :
X1=X0-D0, avec D0=L0.F0, où L0 est la matrice inverse du gradient de F en X0
et où l'indice 0 est utilisé pour les grandeurs en X0
On suppose que Ln existe pour n>=0
On arrête l'itération quand la plus grande des composantes de Dn en valeur absolue,
est inférieur à epsilon,
ou quand n est plus grand qu'un nombre d'itération fixé.
On utilisera la méthode de Newton,
pour rechercher numériquement les points fixes d'une transformation X-->T(X,C) et leurs bifurcations quand C varie.
C est en général un paramètre scalaire,
mais on peut le prendre dans un espace Rp
(p s'appelle la codimension, pour le problème de bifurcation)
On posera alors F(X,C identique à X-T(X,C)
Pour la recherche d'un cycle d'ordre k de T,
on cherchera un point fixe de Tk,
qui n'est pas un point fixe de Tp pour p
On suivra un point fixe, en faisant varier C,
et en calculant les multiplicateurs de L.
Le graphe de Y=F(X,C) doit être transverse à l'hyperplan Y=0,
ce qui ne sera pas le cas pour les valeurs C*,
qui correspondent à des bifurcations d'un point fixe ou d'un cycle.
L'itération de Newton devient mal conditionnée,
quand le paramétre C se rapproche d'une valeur de bifurcation.
On remplacera alors l'itération précédente,
par celle d'une méthode de Newton,
pour le système d'équation obtenu en ajoutant la(ou les) condition de bifurcation,
aux équations de point fixe, pour les inconnues X et C.
On sait associer une transformation ponctuelle à un système différentiel,
par une méthode de section, ou par une méthode de projection.
La méthode de Newton sera utilisée,
pour rechercher des points fixes ou des cycles d'ordre k de cette transformation ponctuelle,
et de leur bifurcations, quand on fait varier des paramètres.
Ceux-ci seront interprétés en tant que solutions du système différentiel.
Méthode stroboscopique de Minorski
Je prends l'exemple d'une équation différentielle du deuxième ordre,
à coefficients périodiques, de période Tp.
La méthode stroboscopique de Minorski,
consiste à projeter sur le plan t=t0,
les points d'une trajectoire, issue de (x0,y0) pour les instants t0+n*Tp, n=1,2...
Si T désigne la transformation (x0,y0)-->(x0,y0;t0+Tp),y(x0,y0;t0+Tp))
alors, un cycle d'ordre k de T correspondra à un sous-harmonique d'ordre k du système différentiel.
Je désigne par des lettres majuscules,
les vecteurs X0 et X, pour simplifier les notations.
Le calcul des valeurs propres de la matrice dT/dX de l'application linéaire tangente de T,
en un point de cycle, correspond au calcul des exposants de Floquet d'une solution périodique du système différentiel.
On pourra ainsi rechercher les solutions périodiques de période kTp, et étudier leurs bifurcations, dans l'espace des paramètres.
L'intégration du problème aux valeurs initiales sur une période,
sera obtenu par une méthode Runge Kutta,
qui est précise à l'ordre h4,
où h est le pas d'intégration.
Pour développer la méthode de Newton,
pour la recherche de solutions périodiques,
il faut aussi calculer les dérivées partielles de la transformation de Minorski.
Celles-ci vérifient le système différentiel,
obtenu en dérivant l'équation dX/dt=F(X,t) par rapport aux conditions initiales :
d/dt(dX/dX0)=d/F/dX.dX/dX0
où le "." représente le produit contracté.
On obtient l'application X-->T(X) de Minorski,
ainsi que son gradient dT/dX,
en intégrant,
depuis l'instant t=t0 jusqu'à l'instant t=t0+Tp,
par la méthode de Runge Kutta,
le système des 6 équations aux dérivées partielles (scalaires) du premier ordre :
dX/dt=F(X,t) ; d/dt(dX/dX0)=dF/dX.dX/dX0
pour les 6 inconnues (scalaires)
X ; dX/dX0
avec les conditions initiales :
X=X0 ; dX/dX0=I pour t=t0
où I est l'identité.
Quand on obtient la convergence de la méthode de Newton,
on affichera les valeurs des exposants de Floquet,
qui permettront de connaître la nature de la stabilité de cette solution.
On recherchera, à titre d'exercice,
de telles solutions,
pour une famille d'oscillateurs,
perturbée par des excitations extérieures ou paramétriques.
Il sera intéressant de construire les variétés stables et instables,
issues d'une solution du type "col", pour le problème perturbé.
Pour pouvoir prolonger le germe d'ordre 2 de ces variétés,
on doit connaître le Hessien de T,
ce qui nécessite la résolution du système différentiel des 12 équations (scalaires) du premier ordre,
pour X, dX/dX0 et d2X/dX02
Des calculs ont été effectués pour le pendule de Froude,
et ont montré l'existence d'intersections transverses de ces 2 variétés invariantes.
Exemples d'itération de Newton (en ligne)
Méthode de Newton pour la recherche de solution de x-Tk(x,c)=0
J'ai choisi pour T, l'application x-->T(x,c)=2x2-c
Les calculs sont effectués avec les fonctions de la bibliothèque bcmath du langage PHP (version 4.4.2)
Ces calculs numériques utilisent des chaînes de caractères,
qui permettent de choisir le nombre de chiffres significatifs jusqu'à de très grandes valeurs
(qui ne sont limitées que par la mémoire de stoquage des chaînes)
Faides des simulations, en choisissant la valeur de c, de x0 et de la précision:
saisir les données
pour la recherche des points fixes et des cycles de T, par la méthode de Newton
Vous pouvez visualiser la dynamique de cette itération, dans le site :
* Lien externe :
itération en ligne de la transformation de Myrberg...
Vous étudierez les bifurcations qui se produisent,
quand le paramètre c varie de 0 jusqu'à 1.
Pour c=0, le point fixe x=0 est superstable, car son multiplicateur est nul.
Vous pouvez construire le graphe de T2 pour comprendre comment apparait un cycle d'ordre k=2,
par une bifurcation "fourche" de ce point fixe.
Vous montrerez qu'il existe ensuite une cascade de bifurcations fourche,
qui fait apparaitre une suite de cycles d'ordre k=2^n.
Pour c=1, on remarque que le changement de variable x=cos(2y),
permet d'écrire l'itéré xn sous la forme :
xn=cos(2^n*Arccos(x0)
La fonction g :x-->cos(x) est solution de l'équation fonctionnelle des fonction automorphes :
g(T)=T(g) (équation fonctionnelle de Schröder)
* Lien externe :
wikipedia, équation fonctionnelle de Schröder...
Elle permet d'expliciter xn en fonction de n.
Si l'on prolonge l'itération n-->xn aux valeurs réelles de la variable n,
on obtient les trajectoires t-->cos(2^tarccos(x0)
qui recouvrent une infinité de fois le segment [-1,+1[
pour tout x0 (éxtérieur à un ensemble de mesure nulle,
qui correspond à la réunion de tous les points de cycle de tout ordre k>=1 de T)
Cet exemple montre clairement pourquoi la suite xn est ergodique.
On peut s'en servir,
pour construire l'endomorphisme du carré [-1,+1[ X [-1,+1[ du plan (x,y) définie par :
x1=y ; y1=2x*x-1
Les itérés pairs (x2n,y2n) sont découplés,
et le prolongement de leurs trajectoires discrètes
(à un ensemble de conditions initiales près, de mesure nulle)
sont des courbes de Péano, qui recouvrent tout le carré.
Ces exemples montrent clairement,
comment on peut générer une situation chaotique,
dans des systèmes dynamiques d'ordre très bas.
Code en php de la méthode de Newton
Vous pouvez consulter le code de calcul de la méthode de Newton,
que j'ai placé dans le fichier postendo.txt :
postendo.txt code du script postendo.php,
pour la recherche des cycles d'ordre k d'une famille d' endomorphisme de R
Vous étendrez, à titre d'exercice,
cette méthode de Newton,
pour une famille d'endomorphisme de R2
Vous construirez un algorithme pour le prolongement des variétés invariantes, issues d'un point fixe du type col non dégénéré de T,
dont l'existence est assurée par le théorème de Lattès.
On suppose que la transformation T est polynomiale,
et que le point fixe est en (0,0)
On écri :
x1=g(x,y)=g10*x+g01*y+g20*x*x+2g11*x*y+g02*y*y+...
y1=f(x,y)=f10*x+f01*y+f20*x*x+2f11*x*y+f02*y*y+...
Pour cela, vous chercherez ce germe sous la forme y=h(x) que vous écrirez sous la forme h(x)=p*x+c*x2+...
et vous déterminerez les coefficients du développement de h par identification des puissances de x,
dans l'équation fonctionnelle des fonctions invariantes :
y1=h(x1) avec x1=g(x,h(x)) et y1=f(x,h(x))
On se contentera du germe parabolique, défini par les 2 premiers coefficients p et c de la fonction h.
On fera de même pour un point d'un cycle d'ordre k de T, du type col.
Le calcul des dérivées partielles premières et secondes de Tk en un point du col seront calculées par récurrence sur k
Pour que les résultats soient obtenus avec la précision arbitraire choisie,
il est nécessaire que tous les calculs soient faits avec cette précision.
En particulier,
on utilisera la fonction bccomp pour le test d'arrêt de la méthode de Newton (et non l'opérateur "<")
Conclusions
Les quelques exemples de cette page,
montrent que les résultats des calculs numériques,
doivent être examinés avec lucidité,
quand ils concernent les problèmes de dynamique non linéaire.
On s'est volontairement limité à l'étude de quelques modèles mathématiques,
qui sont très simples devant la complexité que l'on rencontre dans les problèmes physiques,
mais qui demandent déjà beaucoup de réflexion :
On aurait pu aller plus loin, comme par exemple, dans :
** Lien externe :
un peu de mathématiques
On est donc loin des problèmes posés pour l'étude de la turbulence en mécanique des fluides.
La puissance des calculateurs et les algorithmes de résolution des séries formelles,
donneront des indications sur le comportement des solutions,
pour des ordre de grandeur du temps qu'il faudra apprécier.
Pour les équations aux dérivées partielles de Navier Stokes, de Boussinesq...
le problème sera remplacé par un problème tronqué
(méthodes aux éléments finis, méthodes spectrales, de type Galerkin)
Il faudra, en plus des erreurs d'arrondis,
ne pas perdre de vue que l'on résoudra numériquement le problème tronqué,
et non le problème initial.
Retour dans la page sommaire de la rubrique dynaweb