1.1 exercices sur la représentation lagrangienne et eulérienne des mouvements
1.2 exemples de problèmes bien ou mal posés
1.3 solutions exactes et méthode indirecte
1.4 équations mathématiques modèles et perturbations singulières
1.1 représentation lagrangienne et eulérienne
On cherchera l'expression des lois de conservation, de la dérivée matérielle des éléments différentiels...,
en représentation lagrangienne ou en représentation eulérienne.
Pour écrire une équation locale bilan de conservation en représentation lagrangienne, on peut procéder de plusieurs façons ;
on peut chercher à transformer toutes les grandeurs et opérateurs qui figurent dans une loi écrite sous forme eulérienne,
en utilisant le passage en variables lagrangiennes.
Il est plus naturel d'obtenir directement ces équations, à partir des lois globales de conservation.
La description lagrangienne est plus intuitive que la description eulérienne.
En effet, il est plus facile de se représenter un mouvement par les trajectoires de ses particules,
plutôt que par le champ de vitesse des particules qui occupent la position X à l'instant t.
Le passage de la représentation eulérienne à la représentation lagrangienne nécessite l'intégration du système différentiel non autonome :
d/dt(X)=V(X,t) avec les conditions de Cauchy X(t0)=X0
Les conditions que doit vérifier V(X,t) pour que ce problème soit bien posé sont rappelées dans les exercices 1.2
L'obtention de la solution unique X=Xbar(X0,t0;t) nécessite presque toujours d'utiliser une méthode numérique d'intégration (Runge Kutta, Prédicteur correcteur...)
Le passage de la représentation lagrangienne à la représentation eulérienne est plus simple, en principe,
puisqu'il fait intervenir une dérivation partielle par rapport au temps,
suivie de l'inversion du système d'équations X=Xbar(X0,t0;t) par rapport à X0, quelque soit t
Le théorème des fonctions implicites assure l'existence locale d'une unique solution X0, puisque j=det(xbar(i)|x0(j)) est strictement positif, quelque soit t
Ici encore, la construction de la solution est en général numérique (effectuée avec une méthode de Newton, par exemple)
1.1.1 écrire le bilan de conservation de la masse en représentation lagrangienne ?
réponse :
écrivons la conservation globale de la masse contenue dans un domaine d que l'on suit dans son mouvement :
intégrale(dans d)(rho*dv)=intégrale(dans d0)(rho0*dv0) quelque soit le volume d0,
qui occupe le domaine d à l'instant t
rho0 est la masse volumique en X0
C'est une fonction de x0, qui représente la donnée de la collection de particule dans la configuration initiale, à l'instant t0
Le changement de variables X0 donne X=Xbar(X0,t0;t) dans l'intégrale dans d conduit à :
intégrale(dans d0)(rhobar*jbar-rho0)dv0=0 quelque soit d0
On remarque que l'élément de volume matériel dv0 se transforme en jbar*dv0 à l'instant t,
quand on le suit dans son mouvement
On en déduit, si l'intégrant est continu, l'équation locale de conservation de la masse, en représentation lagrangienne :
rhobar*jbar=rho0
Cette équation est équivalente à l'énoncé :
la quantité rhobar*jbar se conserve le long des trajectoires
ou encore :
d/dt(rhobar*jbar)=0 avec la condition initiale rhobar(X0,t0;t0)=rho0(X0)
1.1.2 Comment s'écrit la dérivée matérielle, en représentation lagrangienne ?
réponse :
Dériver une grandeur gbar(X0,t0;t) le long de la trajectoire de X0, consiste à dériver partiellement gbar par rapport à t, quand x0 est fixé.
La dérivée matérielle de gbar est d/dt(gbar)
Dire que gbar se conserve au cours du mouvement est équivalent à :
gbar(X0,t0;t)=g0(X0) quelque soit t
On voit que la dérivée matérielle s'exprime naturellement en représentation lagrangienne,
tandis que son expression eulérienne est plus complexe.
Si l'on pose g(X,t identique à gbar(xbar(X0,t0;t),t), on peut écrire :
D/Dt(g)=d/dt(gbar)
On obtient, d'après l'expression de la dérivée d'une fonction composée :
D/Dt(g)=d/dt(g)+V.Grad(g) avec V=dX/dt
1.1.3 Exprimer la dérivée matérielle des éléments différentiels dX dS et dv,
En représentation lagrangienne et en représentation eulérienne
réponse :
Comme dvbar=jbar*dv0, on obtient :
D/Dt(dv)=d/dt(dvbar)=d/dt(jbar)*dv0
Un calcul classique donne d/dt(jbar)=jbar*div(v)
On a alors :
D/Dt(dv)=div(V)*dv
j apparaît comme la dilatation volumique,
et div(V) apparaît comme le taux de dilatation volumique.
Le calcul de D/Dt(dX) est facile puisque :
D/Dt(dx)=d/dt(dXbar)=d2/dtdx(j)(Xbar*dx0(j))=dVbar=dV
Pour calculer D/Dt(dS), où dS est un élément vectoriel de surface,
on utilisera dv=dX.dS=dvbar=jbar*dv0=jbar*dX0.dS0
où dS0 est un élément matériel, dans la configuration à l'instant t0 et dX un élément différentiel arbitraire.
On prendra la dérivée matérielle des 2 membres, et l'on en déduira la valeur recherchée,
en éliminant les variables lagrangiennes.
Le résultat s'écrit :
D/Dt(dS)=div(V)*dS-dS.Grad(V)
Dans l'expression ci-dessus, le point réprésente le produit contracté du vecteur dS par le tenseur Grad(V)
On trouvera une utilisation des formules des exercices précédents,
dans la démonstration des théorèmes de Helmoltz, dans le cours 3
.
1.2 exemples de problèmes bien et mal posés au sens d'hadamard
Les exercices 1.2 illustrent des problèmes bien ou mal posés,
que l'on rencontre souvent dans la résolution des écoulements instationnaires.
L'exercice 1.2.1 rappelle le théorème de Cauchy pour les systèmes différentiels,
et donne des exemples pour lesquels il ne s'applique pas.
L'exercice 1.2.2 traite d'une équation différentielle à arguments retardés,
qui explique quelles conditions initiales imposer pour un comportement héréditaire.
Dans l'exercice 1.2.3, on commente les différences entre l'étude des systèmes différentiels du premier ordre dans R**n,
et une équation différentielle d'ordre n.
L'exercice 1.2.4 donne des indications sur la formulation classique et sur la formulation au sens des distributions.
1.2.1 énoncer les conditions que doit vérifier V(X,t), pour assurer le caractère bien posé du problème de Cauchy,
pour d/dt(X)=V(X,t)
réponse :
V doit être une fonction lipschitzienne de X,t, c'est à dire :
| V(Y1)-V(Y2) | < c * | Y1-Y2 | quelque soit Y1 et Y2
où | | représente une norme dans R4 Y est le vecteur (X,t) de R4)
c est une fonction bornée de Y1,Y2
Cette condition est plus forte que la continuité par rapport à l'ensemble des variables X,t mais est moins forte que la dérivabilité.
Elle est moins forte que la condition de dérivabilité par rapport à Y
Cette condition assure l'existence et l'unicité d'un germe de solution,
issu de la condition initiale X=X0, à l'instant t=t0
Il faut insister sur ce caractère local du théorème, qui n'affirme rien pour tout (t supérieur à t0
L'unicité de la solution du problème de Cauchy interdit aux trajectoires de se couper dans l'espace de phase X,t
On dessine souvent les trajectoires de phase, en projection dans un hyper-plan t=constante.
La projection d'une trajectoire peut présenter des points doubles, ou couper d'autres projections de trajectoires,
mais cela ne contredit en rien le théorème d'unicité.
Des erreurs sont souvent commises, quand on oublie que l'espace dans lequel sont tracées les trajectoires de phase,
d'un système non autonome, est l'espace de phase élargi X,t et n'est pas l'espace à 3 dimensions des vecteurs X
Par contre, pour les systèmes autonomes (V(X) indépendant du temps) l'espace de phase est l'espace R3 des vecteurs X,
et les trajectoires ne peuvent pas se couper dans cet espace.
Il ne faut pas transposer les résultats connus pour les mouvements stationnaires, aux écoulements instationnaires.
Par exemple la notion de ligne et surface de courant à l'instant t, ne sert pas à grand chose pour les écoulements instationnaires,
car ce ne sont que des enveloppes de trajectoires,
qui évoluent et se déforment au cours du temps.
De même, la condition de glissement sur une paroi, ne signifie pas que la paroi est, en général, une surface de courant, en instationnaire !
Il faut noter que le théorème de Cauchy Lipschitz est énoncé pour les systèmes différentiels explicites.
Pour une équation implicite de la forme f(x, y,t)=0 avec y=d/dt(x), il faut se ramener au cas précédent,
en appliquant le théorème des fonctions implicites, si d/dy(f) est différent de 0
Ceci n'est pas le cas pour (d/dt(x))**2=x au voisinage de d/dt(x)=0
Il y a 2 branches de solutions, au voisinage de ce point :
d/dt=+racine(x) et d/dt(x)=-racine(x)
Je vous propose d'étudier les solutions de l'équation différentielle :
d/dt(x)=x**alpha
où alpha est un nombre compris entre 0 et 1.
le second membre est continu, mais n'est pas lipschitzien, au voisinage de x=0.
Vous montrerez qu'il existe 2 solutions, qui vérifient la condition x(0)=0.
Cet exemple très simple montre que la continuité du second membre, n'est pas suffisante, pour assurer l'unicité de la solution du problème de Cauchy.
Pour alpha supérieur ou égal à 1, montrez qu'il n'existe que la solution d'équilibre x=0 pour tout t>=0, qui passe par l'origine x=0.
1.2.2 Quelles conditions initiales doit vérifier l'équation différentielle à argument retardé :
d/dt(x)=-x(t-tau) avec tau>0,
pour conduire à un problème bien posé ?
réponse :
On obtient une formule de représentation des solutions de cette équation linéaire, en intégrant dx=-x(t-tau)*dt
on obtient :
x(t)=x(t0)-intégrale(de t0 à t) (x(u-tau)*du
La fonction x(t) est définie, pour t supérieur à t0, si l'on se donne la valeur de x sur l'intervalle [t0-tau,t0[
On remarque que la donnée initiale est une fonction (et non une valeur en un point t0!)
La solution de ce problème aux valeurs initiales est unique et de classe C1 par morceaux,
pour tout t>=t0, si la donnée initiale est de classe C0
Cette solution présente, en général, des discontinuités de ses dérivées, aux points t0+n*tau ; n dans N.
1.2.3 Peut-on toujours écrire une équation différentielle du deuxième ordre,
sous la forme d'un système différentiel du premier ordre ?
réponse :
Pour une équation implicite de la forme f(x,d/dt(x),d2/dt2(x),t)=0, il faut se ramener à la forme explicite
Pour une équation explicite de la forme d2/dt2(x)=g(x,d/dt(x),t) on pose d/dt(x)=y, ce qui donne
d/dt(x)=y et d/dt(y)=g(x,y,t)
L'espace de phase élargi est l'espace x,y,t
Les données de Cauchy sont x(t0)=x0 et y(t0)=y0
Remarque 1 :
Si on se donne des conditions différentes des données de Cauchy, les problèmes correspondants seront en général, impossibles ou indéterminés.
Par exemple, la donnée de la dérivée seconde de x à l'instant initial,
conduit à un problème impossible,
sauf si cette donnée vérifie l'équation différentielle à l'instant t0
Si on ne se donne que la position initiale x0, on obtient une famille de solution à un paramètre y0 arbitraire.
Remarque 2 :
On ne peut pas, en général, ramener un système autonome de R**n,
à une équation différentielle d'ordre n.
L'étude des systèmes différentiels du premier ordre est donc plus générale que l'étude d'une équation d'ordre n.
1.2.4 Régularité et reformulation
Dans les remarques qui suivent,
on commente la formulation forte et la reformulation faible, sur l'exemple de l'équation de Burgers dissipative.
Dans quel espace fonctionnel faut-il rechercher une solution de l'équation aux dérivées partielles :
u|t+u*u|x=epsilon*u|xx avec epsilon positif ou nul
réponse :
Pour que l'équation ci-dessus ait un sens,
en tout point x,t de son domaine de définition,
il faut que tous les termes qui interviennent aient un sens.
On demandera à la fonction u(x,t) d'être une fois continuement dérivable par rapport à t,
et 2 fois continuement dérivable, par rapport à x
Si l'on désigne par d l'ouvert du plan x,t dans lequel on doit écrire l'équation,
ces conditions s'écrivent :
u appartient à C1(par rapport à t dans d) inter C2(par rapport à x dans d)
u doit vérifier des conditions sur la frontière du domaine d
Supposons que d est l'ouvert : x dans R et t>0
On impose la condition initiale :
u(x,0)=u0(x) quelque soit x dans R
quand x tend vers l'infini, on demande à u d'être borné
L'ensemble des conditions que u doit vérifier dans d et sur son bord drond(d),
s'appelle le domaine de l'opérateur.
Il faut préciser dans quel espace fonctionnel on se donne u0,
pour compléter le domaine de l'opérateur de Burgers.
On peut demander que u appartienne à la classe C0(par rapport à x sur drond(d))
Le problème de Burgers sera bien posé,
dans le cadre fonctionnel choisi,
si il existe une seule solution de ce problème,
au moins continue par rapport au paramètre epsilon.
Cette formulation est la formulation forte (ou classique)
C'est cette formulation forte qui intéresse le physicien en premier lieu,
mais il peut arriver que l'on se donne des données moins régulières que celles écrites ci-dessus.
On peut envisager de se donner pour u0(x) une fonction qui présente une discontinuité en un point x0
On peut penser que les propriétes de régularité de la solution du problème,
dépendront du choix de celles des données sur le bord,
ainsi que des coefficients de l'opérateur.
Suivant les choix qui seront faits, il pourra exister une seule solution du problème, ou aucune, ou une infinité !
Le mathématicien introduit une reformulation faible du problème précédent, encore appelée formulation au sens des distributions.
Cette formulation consiste à multiplier les 2 membres de l'équation de Burgers, par une fonction test phi(x),
et à intégrer le résultat dans le domaine d
Si les fonctions test sont assez dérivables, on peut, par des intégrations par parties,
reporter les dérivées par rapport à x, de u sur phi
On peut ainsi donner un sens à une formulation, dans laquelle on demande moins de régularité à l'inconnue u.
Ces remarques sont trop vagues pour être utilisées concrètement.
Des illustrations simples sont données dans les cours de méthodes mathématiques de la physique,
pour la résolution du problème de Cauchy, pour les systèmes différentiels linéaires.
Le mathématicien utilise la formulation faible,
pour démontrer l'existence d'une solution, dans un espace fonctionnel assez vaste.
Il doit ensuite démontrer des théorèmes de régularisation, pour que la solution soit physiquement acceptable.
1.3 solutions exactes et méthode indirecte
Dans les exercices 1.3, on reformule les équations du mouvement,
pour des choix particuliers du champ de vitesse V(X,t)
L'exercice 1.3.1 concerne les problèmes d'équilibre.
Dans l'exercice 1.3.2, on écrit les équations en psi et oméga, pour les écoulements plans instationnaires.
Dans l'exercice 1.3.3, on explicite la solution des écoulements dans les conduites cylindriques.
1.3.1 équations de la statique
L'équation de compatibilité (condition nécessaire d'existence de la pression) s'écrit, pour V identiquement nulle :
Rot(rho*F)=0
Comme rho=r0, on voit que Rot(F)=0
Si le champ de forces massiques extérieures n'est pas irrotationnel, il n'existe pas de solution du problème d'équilibre.
On peut aussi dire que le caractère rotationnel de F, contribue à mettre le fluide en mouvement.
Pour F=-g*K, où K est le vecteur unitaire de la verticale ascendante du lieu, la condition nécessaire d'équilibre est satisfaite.
On peut écrire F sous la forme d'un gradient
F=-Grad(g*z) où z est la coordonnée verticale.
L'équation d'équilibre, pour la pression hydrostatique s'écrit :
Grad(p)=-r0*Grad(g*z)
ce qui donne :
p=p0-r0*g*(z-z0)
Les surfaces isobares sont les surfaces de niveau du champ F
Cherchons maintenant les conditions d'équilibre d'un corps inhomogène pesant, entièrement plongé dans un liquide homogène au repos.
On désigne par rhos sa masse volumique
L'équilibre global du corps, sous l'action de la pesanteur et des forces -p*N exercées par le fluide au repos, en tout point de sa surface s, s'écrit :
[-rhos*g*K](dans d)+[-p*N](dans s)=0
ou la quantité entre crochets, désigne la densité de forces qui définit le torseur équivalent à la répartition de forces extérieures,
qui sont appliquées en tout point du domaine indiqué
On en déduit le théorème d'Archimède, en écrivant la condition d'équilibre globale du domaine d rempli fictivement par le liquide au repos :
[-r0*g*K](dans d)+[-pN](dans s)=0
ce qui conduit à :
[-rhos*g*K](dans d)=[-r0*g*K](dans d)
Comme ces torseurs sont équivalents à des vecteurs glissants,
on en déduit que :
le poids du corps doit être égal au poids du volume de liquide déplacé, et le centre d'inertie O du corps
doit se trouver sur la verticale qui passe par le centre de gravité G du domaine d.
Si ces conditions ne sont pas satisfaites, le corps se mettra en mouvement,
et entrainera le liquide visqueux dans son mouvement (comme le montre la condition d'adhérence à la paroi)
Les conditions nécessaires d'équilibre ne sont pas suffisantes, si l'on désire obtenir une solution stable par rapport aux petites perturbations !
Pour cela, il faut que le point O soit situé au-dessous du point G
Si O et G coïncident, on obtient un équilibre indifférent.
Nous reprendrons cet exercice quand on remplace le liquide par un liquide inhomogène (voir les exercices e2)
On peut aussi étudier l'équilibre des corps partiellement immergés (flotteurs) dans un liquide avec une surface libre.
La surface libre au repos est une surface du champ F (ici une surface horizontale z=constante)
Ce problème est plus délicat, car la partie immergée dépend de l'orientation du flotteur !
1.3.2 Mouvements plan instationnaires
Un mouvement plan, parallèle au plan xOy, est défini par :
V=(u,v,0)(x,y,t)
où x,y et u,v sont les composantes de X et de V,
en projection sur les vecteurs unitaires I,J du repère (O;I,J,K) orthonormé direct
L'équation div(V)=0 s'écrit :
d/dx(u)+d/dy(v)=0
Ce qui montre que la fonction psi(x,y,t) définie par :
d(psi)=-v*dx+u*dy
est une différentielle exacte
psi est appelée fonction de courant de l'écoulement plan, à l'instant t
On a par identification :
d/dx(psi)=-v et d/dy(psi)=u
Si u et v sont donnés, ces 2 équations permettent de trouver psi, qui est une fonction (éventuellement multiforme) définie à une fonction additive du temps près
Remarque :
L'introduction d'une fonction psi n'est pas unique.
Par exemple k*psi est aussi une fonction de courant, si psi l'est.
Les anglo-saxons introduisent souvent l'opposée de psi.
Les équations de compatibilité s'écrivent :
I.Rot(F)=0
J.Rot(F)=0
D/Dt(oméga)=K.Rot(F)+nu*delta(oméga)
où oméga=-delta(psi) avec u=d/dy(psi) et v=-d/dx(psi)
Les inconnues sont les fonctions psi et oméga, qui dépendent des 3 variables indépendantes x,y,t
1.3.3 Mouvements tridimensionnels instationnaires par droites parallèles
Le champ des vecteurs vitesse d'un mouvement dont les particules décrivent des droites parallèles au vecteur K s'écrit :
V=(0,0,w)(x,y,z,t)
On suppose que le liquide est pesant et que K est dans le sens de la verticale ascendante.
Il faut toujours commencer par l'équation div(V)=0,
car elle permet de simplifier la suite des écritures.
On obtient ici :
d/dz(w)=0
Les équations de compatibilité montrent que :
d/dt(w)-nu*delta(w) n'est fonction que de t
Les équations de Navier Stokes s'écrivent alors :
d/dx(p)=0
d/dy(p)=0
d/dt(w)=-1/r0*d/dz(p)-g+nu*delta(w)
On remarque que l'accélération se réduit à d/dt(w)*K (ce qui est normal pour le mouvement rectiligne d'une particule)
Par suite, la partie convective de l'accélération est identiquement nulle,
ce qui rend linéaires les équations du mouvement.
On pose gp=1/r0*d/dz(p)+g
gp est une fonction du temps donnée, et w doit vérifier :
d/dt(w)=-gp(t)+nu*delta(w)
On supposera que le gradient de pression est indépendant du temps (mais ceci n'est pas essentiel)
L'équation obtenue est une équation linéaire parabolique (équation de la chaleur)
Il faut lui associer les conditions initiales :
w(x,y,t0)=w0(x,y)
On ne peut envisager que des conditions aux limites sur des surfaces cylindriques d'axe K
La condition d'adhérence, pour un cylindre fixe, qui s'appuie sur la courbe plane c du plan xoy, s'écrit :
w(x,y,t)(le long de c)=0 quelque soit t
On commence par démontrer l'unicité de ce problème classique,
en utilisant une méthode de l'énergie, pour le problème homogène associé.
Pour cela, on multiplie les 2 membres de l'équation homogène par w, et on l'intégre dans le domaine d'écoulement
en tenant compte des conditions initiales et des conditions aux limites,
on obtient, en utilisant la formule de Stokes :
d/dt(intégraledans d)((w**2/2)dv)+intégrale(dans d)(Grad(w).Grad(w)*dv)=0
On en déduit que la seule solution du problème homogène associé est la solution nulle
ce qui démontre l'unicité, compte tenu de la linéarité du problème.
On résout ce problème classique, en recherchant des solutions particulières du problème homogène associé, sous la forme du produit d'une fonction du temps,
par une fonction de x,y
Il s'introduit une constante de séparation des variables, un comportement exponentiel pour la dépendance en t,
et une équation du type Helmoltz, pour la dépendance en x,y
Le problème spatial est un problème aux valeurs propres, pour lequel on construit les fonctions propres.
La formule de représentation de la solution,
sous la forme d'un développement en série de fonctions propres,
n'aura de sens que si celle-ci est une série convergeante.
L'identification de w(xy,t0) ainsi représentée, avec w0(x,y) permet de calculer les coefficients indéterminés,
en fonction des coefficients du développement en série de fonctions propres de w0
Pour cela, w0(x,y) doit satisfaire les équations du problème stationnaire
La justification des calculs formels est un peu technique, mais n'introduit pas de difficulté de fond.
Le caractère dissipatif associé à nu positif, donne un comportement du type exponentiel décroissant, pour la dépendence en temps.
quand t tend vers l'infini, la solution du problème aux valeurs initiales tend vers une solution du problème stationnaire,
qui peut être recherché directement comme solution de :
delta(w)=gr/nu et w(le long de c)=0
Le problème stationnaire est un problème classique de Dirichlet.
Ici encore, on peut démontrer simplement que sa solution est unique, par une méthode de l'énergie.
On obtient, en procédant comme précédamment :
intégrale(dans d)(Grad(w).Grad(w)*dv=0
ce qui entraine l'unicité
La construction d'une solution ne pose pas de difficultés, quand la frontière du domaine fluide est simple.
Vous expliciterez facilement cette solution, quand le fluide occupe le domaine situé entre 2 cylindres circulaires concentriques.
Vous retrouverez la solution de Poiseuille comme cas particulier.
La méthode générale, pour la construction de la solution, pour des domaines quelconques,
consiste à représenter le domaine plan, limité par le contour c,
conformément sur le domaine correspondant à l'intérieur (ou à l'extérieur) d'un cercle du plan de la variable complexe zeta.
La solution est recherchée comme la partie réelle d'une fonction de la variable complexe x+iy
Nous rappellerons ces techniques, lors de l'étude des écoulements instationnaires de liquide parfait
Reportez-vous aux exercices sur le cours 3, pour plus de détails
Equations mathématiques modèles et problèmes de perturbations
Les équations de la Physique sont souvent, comme les équations de Navier Stokes,
des équations aux dérivées partielles non linéaires en X,t
Leur résolution est souvent assez technique, à cause de la variable spatiale X
cela masque les vraies difficultés rencontrées dans les méthodes de perturbation.
Pour mieux comprendre, on introduit des équations modèles plus simples,
mais qui sont censées représenter les mêmes difficultés.
On a déja rencontré l'équation de Burgers dissipative, que nous réécrivons ici :
u|t+u*u|x=epsilon*u|xx
La fonction u(x,t) est une fonction à valeurs scalaires, qui n'a pas de sens physique particulier.
Par analogie avec l'équation de conservation de l'énergie, pour l'évolution de la température,
dans un milieu continu conducteur de la chaleur,
elle modélise la convection diffusion.
On lui associe des conditions initiales et aux limites.
Dans cet exercice, on étudie la perturbation epsilon=0, qui réduit le problème à :
u|t+u*u|x=0
Si u(x,t;epsilon) désigne la solution du problème, quelque soit epsilon supérieur à zéro,
on peut se poser la question suivante :
quels liens existent-ils entre u(x,t;0) et le problème p0,
obtenu en posant formellement epsilon=0 dans l'équation exacte ?
On aimerait pouvoir affirmer que la limite, quand epsilon tend vers 0, de u(x,t,epsilon),
est donnée par la solution (si elle existe et si elle est unique !) du problème p0.
Ceci n'est malheureusement pas uniformément vrai, quelque soit x,t !
On le comprend assez facilement, en se souvenant que le problème exact doit vérifier des conditions aux limites.
Prenons l'exemple du domaine non borné avec les conditions aux limites :
limite(quand x tend vers moins l'infini de)u=1
limite(quand x tend vers plus l'infini de)u=-1
u doit vérifier 2 conditions, ce qui est naturel pour une équation différentielle du deuxième ordre en x
Par contre, le problème p0 ne fait intervenir qu'une dérivée première en x,
et il n'existe pas de fonction continue d'une variable x, solution d'un problème différentiel du premier ordre,
satisfaisant une condition aux limites en 2 points.
On doit abandonner l'hypothèse de continuité, pour qu'il existe des solutions du problème p0
Dans un espace de fonctions, qui peuvent présenter des discontinuités, le problème p0 possède une infinité de solutions.
On en conclut que le problème p0 est un problème mal posé.
On peut se demander pourquoi il n'est pas permis de négliger le terme epsilon*u|xx devant les autres termes, dans l'équation exacte.
en fait, ceci est légitime, en tout point x,t pour lesquels u|xx est borné.
malheureusement, on ne connaît pas ces points, puisque l'on ne connaît pas la solution du problème exact !
Pour illustrer ces remarques, vous construirez la solution exacte du problème stationnaire :
u*u|x=epsilon*u|xx
avec ses 2 conditions aux limites.
Vous étudierez la limite de cette solution exacte quand epsilon tent vers 0.
Vous montrerez qu'elle correspond à une couche limite libre d'épaisseur epsilon, au voisinage de x=0,
dans laquelle u|xx n'est pas bornée, quand epsilon tend vers 0
Un autre exercice instructif, consiste à construire la solution du problème de Cauchy, pour le problème p0
Ceci est facile, puisque l'équation p0 traduit que u est constant le long des trajectoires de l'équation d/dt(x)=u(x,t)
Une solution de ce problème (si elle existe !) est :
u=constante le long des droites d du plan x,t de pente u0(x0) qui passent par le point x0,t0
Une formule de représentation de cette solution s'écrit :
u(x,t)=u0(x0) avec x=x0+u0(x0)(t-t0)
On remarque que la solution est donnée simplement en fonction de x0,t0 et t
On parle de formule de représentation et non de solution, car l'écriture ci-dessus n'a pas toujours de sens, quelque soit x,t
En effet, u doit être une fonction uniforme de x,t
Ce n'est pas le cas, si la fonction u0(x0) est une fonction décroissante de x0 !
Dans ce cas, les droites d se coupent dans le domaine t supérieur à t0, ce qui donnerait à u 2 valeurs distinctes au point d'intersection.
Ici encore le problème p0 est mal posé, puisqu'il n'existe pas de solutions, dans un espace de fonctions continues de x,t
On peut affaiblir le problème, en recherchant des solutions discontinues (solutions avec choc)
On peut rechercher la forme du choc, en construisant l'enveloppe de la famille de droites d, paramétrée par x0
il faut se souvenir que les équations locales ont été écrites à partir d'équations globales de bilan de conservation.
Une condition nécessaire pour l'obtention des équations locales était la continuité de l'intégrant.
Ceci n'est pas le cas, si l'on suppose que la solution peut présenter des sauts, à la traversée d'une courbe du plan x,t
On doit ajouter les équations aux discontinuités, que l'on obtient à partir des lois globales de conservation.
Il faut donc postuler une loi globale qui donnera l'équation de Burgers, pour les solutions régulières,
et les équations aux discontinuités, pour les solutions avec chocs.
Pour obtenir une telle équation globale, on peut intégrer les 2 membres par rapport à x, dans un intervalle x1,x2
on peut aussi faire cette opération, après avoir multiplié les 2 membres par une fonction arbitraire de x,t
si cette fonction arbitraire est choisie comme étant u(xt), on obtient :
intégrale(de x1 à x2)(u*u|t+u*u*u|x)*dx=0
Pour pouvoir écrire cette équation comme une loi bilan de conservation, il faut faire apparaître le taux de production d'une grandeur que l'on suit dans son mouvement.
Si u représente le champ de vitesse d'un mouvement unidimensionnel, on peut écrire :
d/dt(intégrale)(de x1 à x2)(1/2*u*u)*dx=intégrale(de x1 à x2)(u*D/Dt(u)+1/2*u*u*D/Dt(dx)
où u=d/dt(x)
La condition de choc s'obtient en supposant que l'intervalle x1,x2 contient un point de discontinuité, et l'on fait tendre x1 vers x2,
en supposant que les grandeurs ont des valeurs limites à gauche et à droite de la discontinuité.
Il n'est pas utile de prolonger les calculs ici,
car l'exercice sera repris dans le cadre des écoulements de gaz parfaits.
On trouve beaucoup d'équations modèles, dans les cours consacrés aux méthodes de résolution.
Citons le modèle de Korteveg de Vries, pour les problèmes d'ondes,
le modèle de Kuramoto, pour la combustion...
On rencontre aussi des modèles différentiels ordinaires, comme :
le modèle de Froude, de Van der Pol, de Mandelstamm...
Ces modèles décrivent des problèmes d'excitation de système mécanique par des actions extérieures (forces de frottement, forces non autonomes extérieures...)
enfin, on peut rencontrer des modèles purement mathématiques, destinés à illustrer la convergeance non uniforme des solutions, quand un petit paramètre tend vers 0
Par exemple, le problème :
epsilon*d2/dx2(y)+d/dx(y)=0 ; avec epsilon>0 ; y(0)=0 et limite(quand x tend vers plus l'infini de)(y)=1,
illustre la convergeance non uniforme de y(x;epsilon), au voisinage de x=0
(équation modèle pour la couche limite)