1.1 : les équations locales de bilan de conservation
1.2 : la notion de liquide homogène
1.3 : notions de problèmes bien posés
1.4 : les conditions initiales pour les inconnues p et V
1.5 : équations sans dimension
1.6 : remarques sur la construction de solutions exactes
1.7 : méthodes approchées pour la construction d'approximations
1.1 lois de conservation
l'équation locale du bilan de conservation de la quantité de mouvement s'écrit :
rho*D/Dt(v(i))=d/dx(j)(sigma(i,j))+rho*f(i)
1.2 le liquide de Navier Stokes
1.3 notions sur les problèmes bien posés au sens d'Hadamard
1.4 conditions initiales et aux limites
1.6 remarques sur la construction de solutions
1.7 méthodes approchées pour la construction d'approximations
cours suivant : le liquide inhomogène
L'équation de conservation de la masse volumique rho s'écrit :
D/Dt(rho)+rho*div(V)=0
On peut aussi écrire cette équation sous sa forme "conservative" :
d/dt(rho)+div(rho*V)=0
Cette forme est appelée "conservative" car elle fait intervenir la divergeance de rho*V
Ce terme s'interprète comme la densité volumique du flux de masse qui traverse une surface,
comme on le voit en l'intégrant dans un domaine borné, et en appliquant la formule de la divergeance.
Le terme d/dt(rho) s'interprète comme le taux de production instantané de masse volumique, par unité de volume
Quand on développe des méthodes numériques pour la résolution des équations de conservation,
il est conseillé de discrétiser ces équations écrites sous leur forme conservative.
Cette remarque s'expliquera quand nous parlerons des couches limites libres,
ou de la méthode numérique des caractéristiques.
où l'on utilise la convention de sommation par rapport à l'indice muet j
Le membre de gauche peut s'écrire sous la forme vectorielle :
d/dt(V)+Grad(V.V/2)+Oméga*V où Oméga=Rot(V) désigne le rotationnel de la vitesse
On peut aussi écrire la quantité d'accélération sous sa forme "conservative" :
d/dt(rho*v(i)+d/dx(j)(rho*v(i)*v(j))
Sous cette forme, le premier terme s'interprète comme le taux de production instantané de quantité de mouvement.
Le second terme est associé au flux de quantité de mouvement qui traverse une surface.
On remplacera la contrainte sigma(i,j) par sa loi de comportement, qui sera :
sigma(i,j)=-p*delta(i,j)+2*mu*d(i,j) pour le liquide de Navier Stokes
p est la pression hydrodynamique et d la partie symétrique du gradient de vitesse, qui s'écrit :
d(i,j)=1/2(d/dx(j)(v(i))+d/dx(i)(v(j)))
Le liquide d'Euler (ou liquide parfait) correspond à mu=0.
La loi de comportement d'un gaz parfait s'écrit :
sigma(i,j)=-pi*delta(i,j) où pi est la pression thermodynamique
On ne confondra pas la pression hydrodynamique p(X,t) avec la pression thermodynamique pi(rho,s)
La pression hydrodynamique est une grandeur indéterminée au niveau de la loi de comportement, associée à la liaison cinématique div(V)=0
Pour plus de détails, vous pouvez consulter le livre de Paul Germain (mécanique des milieux continus) au chapître consacré au principe des puissances virtuelles.
Enfin l'équation qui traduit le bilan de conservation de l'énergie (premier principe de la thermodynamique) sera réduite à :
T=T(0) pour les écoulements isothermes d'un liquide
s=s(0) pour les écoulements homentropiques d'un gaz parfait non conducteur de la chaleur
Pour le gaz parfait régulier à chaleurs spécifiques constantes, la loi d'état est pi=rho*R*T où R est la constante des gaz parfaits et T la température
la condition homentropique s'écrit pi/(rho**gamma)=constante quelque soit X et t, avec gamma=Cp/cv (indice adiabatique)
Le liquide visqueux classique
Le liquide visqueux classique est un liquide homogène d'un point de vue de sa répartition de masse.
Cela se traduit par rho(X,t)=r0 quelque soit X et t
L'équation de conservation de la masse se réduit alors à div(V)=0 (car r0 est non nul)
Elle s'interprète comme la conservation de l'élément de volume, puisque div(V) est le taux de dilatation volumique
Nous reviendrons sur ce point, dans le chapître sur les liquides inhomogènes.
L'équation de conservation de la quantité de mouvement, avec la loi de comportement du fluide homogène classique s'écrit :
r0*D/Dt(V)=-Grad(p)+mu*delta(V)+r0*F
Cette équation est appelée l'équation de Navier Stokes ;
les forces extérieures sont proportionnelles à la masse volumique.
Leur expression est donnée et peut dépendre du vecteur position X, du temps t ou de la vitesse V
Pour un liquide pesant F=-g*K où g est l'intensité de la pesanteur sur la surface de la terre, et K le vecteur unitaire de la verticale ascendente du lieu
On peut envisager d'autres formes de forces extérieures, comme en magnétohydrodynamique
Dans ce modèle, oF est proportionnelle à V*B où B est l'induction magnétique.
On doit ajouter les équations de Maxwell pour les grandeurs électromagnétiques E et B, et la force électromagnétique extérieure couple ces équations avec les équations du mouvement.
La magnétohydrodynamique a été en vogue vers les années 1960.
On pensait alors utiliser les champs magnétiques forts pour le transport des métaux en fusion ou comme générateurs d'énergie.
Ces applications n'ont pas donné les résultats escomptés.
D'autres exemples de champs de forces extérieures sont donnés par les forces d'inertie de Coriolis dans la formulation en repère relatif.
Problèmes bien posés
Les équations d'un modèle physique doivent conduire à une solution que l'on peut associer à un phénomène ou à une expérience.
Un principe du déterminisme demande que l'évolution soit uniquement définie, quand on se donne les conditions initiales et aux limites d'un problème.
Une expérience doit être reproductible.
Cela demande une certaine régularité par rapport aux paramètres du problème (au moins la continuité !)
Ces considérations ont conduit le mathématicien Jacques Hadamard à l'énoncé suivant :
un problème bien posé doit posséder une solution unique et qui dépend continuement des données
L'existence d'au moins une solution d'un problème mathématique n'est pas facile à démontrer, en général ;
le meilleur moyen de prouver l'existence d'une solution est de la construire, quand cela est possible
La démonstration de l'unicité d'une solution peut se faire indépendamment de sa construction.
La régularité des solutions dans un cadre fonctionnel adapté au problème physique est nécessaire pour justifier les calculs formels et quantifier les résultats en liaison avec les mesures des grandeurs.
Dans la pratique, on ne peut pas construire les solutions exactes des équations aux dérivées partielles non linéaires de la mécanique des fluides.
On les remplace par des équations approchées, obtenues par des méthodes de perturbation, de discrétisation...
Les problèmes ainsi réduits seront parfois mal posés,
tout l'art de l'ingénieur sera de les adapter correctement aux problèmes exacts.
Ces préoccupations relèvent de l'analyse fonctionnelle et des méthodes asymptotiques.
Elles seront évoquées par des exemples et ne seront pas traitées systématiquement.
Conditions au bord du domaine
Réécrivons les équations de la formulation eulérienne, pour les inconnues p et V, pour le liquide visqueux classique :
div(V)=0
Grad(p)=r0*(F-D/Dt(V)+nu*Delta(V))
où nu=mu/r0 est la viscosité cinématique
C'est un système d'équations aux dérivées partielles pour les inconnues p et V, fonctions des variables indépendantes X et t
Les conditions qu'il faut ajouter à ces équations pour obtenir un problème bien posé au sens d'Hadamard nécessitent quelques commentaires.
On remarque une certaine dissymétrie entre la première et la seconde équation.
En effet, il n'y a pas de dérivée par rapport au temps dans la première et une dérivée première en d/dt dans la seconde.
Il est naturel de se donner les conditions initiales pour V, comme pour une équation différentielle du premier ordre en t.
Par contre, les conditions que doit vérifier p sont moins claires !
On remarque que la pression est solution d'une équation de la forme Grad(p)=G(V)
La condition nécessaire d'existence locale de p est :
Rot(g)=0 quelque soit X et quelque soit t
On appelle parfois cette dernière équation l'équation de compatibilité pour p
Elle traduit l'existence locale de la pression, qui se calcule par une quadrature :
p(X,t)=p(X0,t)+intégrale(de X0 à X)(G.dX
On voit que la pression est connue, quand V est trouvé, à une fonction p(X0,t) additive du temps près.
Une condition qui assure de l'unicité de la pression, est la donnée de la pression en un point X0, quelque soit t
La pression p représente une grandeur physique qui peut être mesurée en tout point où il y a une particule à l'instant t
Cela impose que p(X,t) soit une fonction uniforme de X
La condition nécessaire d'existence locale de la pression n'est pas suffisante pour entrainer cette uniformité.
On imposera la condition suffisante suivante, pour les domaines connexes par arcs :
intégrale (le long de toute courbe fermée)(G.dX)=0
Cette condition s'appelle la condition d'uniformité de la pression.
Regardons maintenant la nature des équations, pour la dépendance en X
L'équation de Navier Stokes est une équation du deuxième ordre, par rapport aux dérivées partielles en X, par son terme laplacien vectoriel.
Pour nu=0 (approximation formelle du liquide parfait) on obtient l'équation d'Euler, qui est du premier ordre en X
On conçoit qu'il faut imposer moins de conditions aux limites pour une équation du premier ordre, que pour une équation du deuxième ordre !
La richesse des conditions aux limites du domaine de résolution des équations à tout instant, est plus grande que celle des conditions initiales.
Pour le liquide visqueux en contact avec une paroi, on impose la condition d'adhérence à tout instant :
V(X,t) pour X appartenant à la paroi = Vp vitesse du point lié à la paroi
Pour un liquide parfait, on impose la condition de glissement, qui traduit uniquement que le liquide ne traverse pas la paroi.
Elle se traduit par la nullité de la composante normale de la vitesse relative du liquide par rapport à la paroi, à tout instant
On impose ici une seule condition contre 3 pour la condition d'adhérence.
La condition d'adhérence est assez naturelle, comme le montre le phénomène d'entrainement par viscosité.
Par contre la condition de glissement ne s'est pas imposée d'une manière aussi évidente.
Les conditions dynamiques à imposer sur une surface matérielle qui limite le milieu continu est la continuité de la contrainte à tout instant.
Cette condition entraine, pour un liquide parfait, la continuité de la pression à la traversée d'une surface libre.
En plus des conditions dynamiques,
il faut écrire la condition cinématique, qui exprime que la surface libre est une surface matérielle.
Si l'équation de la surface libre est g(X,t)=0, en représentation eulérienne, on doit avoir :
D/Dt(g)=0
ce qui s'écrit encore :
d/dt(g)+(V.Grad)(g)=0
Comme la fonction g est en général une inconnue du problème,
on remarque que cette condition cinématique est non linéaire.
Il est assez difficile de démontrer des théorèmes d'existence pour les équations des liquides, à cause de la présence de la non linéarité associée à (V.Grad)(v), qui figure dans la dérivée matérielle D/Dt(V)
Des résultats partiels ont été obtenus par Jean Leray, Ladyshenkaya, Olénik...
Ils demandent une bonne connaissance des méthodes de l'analyse fonctionnelle.
Analyse dimensionnelle
L'analyse dimensionnelle consiste à faire une affinité qui porte sur les fonctions et sur les variables indépendantes.
Ces grandeurs sont rapportées à des échelles de même dimension.
On réécrit le problème avec les grandeurs adimensionalisées.
Ce nouveau problème fait intervenir des nombres sans dimension, qui donnent un ordre de grandeur des termes qui figurent dans ces équations.
On peut énoncer des propriétés des systèmes adimensionalisés, qui découlent de ce que toutes les grandeurs mécaniques peuvent s'exprimer à partir d'une longueur, d'une masse et d'un temps caractéristiques.
On parle de théorème pi, théorème de Vachy, de Buckingham...
Ces propriétés portent sur le nombre de groupement sans dimension, qui apparaissent dans le problème adimensionalisé.
Il ne faut pas accorder trop d'importance à l'analyse dimensionnelle, car le choix des échelles n'est pas unique,
et que les résultats dépendent du choix qui est fait.
Si nous choisissons une longueur l, une vitesse u et la masse volumique r0 comme grandeurs caractéristiques,
les équations de Navier Stokes avec F identiquement nulle, s'écrivent :
Grad(p)=-D/Dt(V)+1/reynolds*Delta(V)
où le nombre de Reynolds vaut u*l/nu
Ce nombre est bien sans dimension, puisque la dimension de nu est [l**2]/[t]
Pour alléger les notations, on a gardé les mêmes symboles pour les grandeurs sans dimension, comme on le fait habituellement.
On reconnaît que les équations sont sous forme adimensionnée, par la présence du nombre de Reynolds.
Dans un problème pour lequel on choisit une longueur l, une rotation oméga et r0,
les équations précédentes deviennent :
Grad(p)=-D/Dt(V)+eckmann*Delta(V)
où le nombre d'Eckmann vaut nu/(oméga*l**2)
On remarque que les nombres sans dimension que l'on peut faire apparaître sont très variés.
Si on choisit une longueur l de référence pour les composantes horizontales x et y et une autre longueur h pour z, il apparaîtra le facteur d'échelle l/h
les champs extérieurs introduiront des nombre sans dimension comme le nombre de Froude pour la gravitation, le nombre de Hartmann pour la force électromagnétique...
Solutions exactes et solutions approchées
On peut essayer de construire des solutions exactes des équations,
sans tenir compte des conditions aux limites.
On peut utiliser les équations en p,V ou les équations en V,Oméga.
Je décris la méthode indirecte, utilisée par Ratip Berker dans son article du Handbuch der Phisik vol VIII,3
Cette méthode consiste à substituer une forme particulière pour V(X,t) dans les équations de compatibilité :
Rot(D/Dt(V)-F-nu*Delta(V))
Cette équation, qui traduit la condition nécessaire d'éxistence de la pression,
ne fait intervenir que le champ de vitesse.
Elle peut s'écrire en faisant intervenir le tourbillon Oméga=Rot(V)
On remarque que Rot(D/Dt(V))=d/dt(Oméga)+Rot(Oméga*V)
On obtient alors :
On appelle cette équation, l'équation de convection diffusion du tourbillon.
Pour un mouvement plan parallèle au plan xOy, défini par V=(u(x,y,t),v(x,y,t)) on obtient :
d/dt(oméga)+u*oméga|x+v*oméga|y=nu*delta(oméga)+K.Rot(F)
dans laquelle oméga=v|x-u|y est l'unique composante non nulle du vecteur Oméga, portée par K
L'équation en projection sur I et J impose les conditions Rot(F).i=0 et Rot(F).J=0
L'équation div(V)=0 s'interprète, dans le cas plan, comme la condition nécessaire d'existence d'une fonction psi, définie par :
psi|x=-v et psi|y=u
La forme différentielle d(psi)=-v*dx+u*dy est une différentielle exacte, puisque ux+vy=0
Contrairement à la fonction p(X,t), on ne demande pas à la fonction psi(x,y,t) d'être uniforme
Dans l'article de Berker, on trouve une classification de toutes les solutions exactes, recherchées comme il suit :
mouvement par droites parallèles V=0,0,w)(x,y,z,t)
mouvements plans par cercles concentriques, par droites concourantes
mouvements pseudo plans V=(u,v,0)(x,y,z,t) et V=(u,v,w)(x,y,t)
Mis à part les solutions de Couette et de Poiseuille, la majorité des solutions exactes restent académiques,
car elles ne permettent pas de satisfaire des conditions aux limites réalistes.
De plus, il faut se souvenir que la méthode indirecte conduit à une solution particulière,
qui n'est pas nécessairement réalisable.
Il faut que le problème associé soit stable par rapport aux conditions initiales, et aux perturbations structurelles.
Si on réalise un écoulement dans une conduite cylindrique, la solution de Poiseuille peut être observée à l'entrée de la conduite.
On peut visualiser l'écoulement, par l'introduction d'un colorant en un point.
On matérialise ainsi la ligne d'émission de ce point, à l'instant t,
qui coïncide avec la trajectoire et la ligne de courant issues de ce point,
si l'écoulement est stationnaire.
On remarque que cette ligne d'émission ne reste pas parallèle à l'axe du cylindre,
quand on s'éloigne de l'entrée de la conduite.
De plus, l'écoulement devient rapidement instationnaire.
Ceci est d'autant plus important que le nombre de Reynolds, construit avec le rayon du cylindre et la vitesse maximum sur l'axe, à l'entrée de la conduite, est grand.
La distance à partir de laquelle la solution par droites parallèles est détruite,
dépend du caractère lisse ou rugueux de la paroi.
Ces remarques montrent qu'il faut étudier le problème de la stabilité hydrodynamique d'une solution de base.
Pour étudier la stabilité d'une solution de base,
on reformule le problème, en le recentrant autour de cette solution.
Le domaine d'étude de la stabilité linéaire,
concerne la construction des solutions du problème formel,
obtenu en linéarisant le problème centré.
Pour des problèmes concrets, on est obligé d'avoir recours à des méthodes approchées,
qui sont abordées dans le chapître 1.7
Méthodes asymptotiques et méthodes numériques
On distingue les méthodes asymptotiques et les méthodes numériques.
On ne dispose pas de théorèmes donnant des propriétés de régularité par rapport aux paramètres,
pour les équations non linéaires de Navier Stokes.
On remplace les équations du problème exact,
par des équations dont les solutions seraient proches de celles du problème initial.
Par exemple, la linéarisation formelle autour d'une solution de base en est un exemple.
On ne justifie pas, en général, la validation de la linéarisation,
et c'est pourquoi on parle de linéarisation formelle.
D'autres méthodes formelles, appelées méthodes asymptotiques, permettent d'introduire des équations plus simples, qui restent néanmoins non linéaires.
L'art de l'ingénieur consiste à postuler la forme des premiers termes d'un développement asymptotique d'une solution,
par rapport à un unique paramètre.
Ce point a été développé dans les cours obligatoires à l'occasion des équations de la couche limite de Prandlt, pour les grands nombres de Reynolds.
Le choix du petit paramètre du problème et et des fonctions de comparaison pour les différents termes du développement,
explique que l'on peut construire de nombreux exemples de dégénérescence des équations de Navier Stokes.
Voici un autre exemple avec les équations de Stokes, pour les écoulements pour les petits nombres de Reynolds.
Posons reynolds=epsilon et recherchons p(X,t;epsilon) et V(X,t;epsilon) sous la forme :
p=1/epsilon*p0+... et V=V0+...
La substitution de ces développements dans les équations en p,V donne, quand F est identiquement nulle, pour l'ordre zéro :
div(V0)=0
Grad(p0)=Delta(V0)
On remarque que le choix du comportement de la pression hydrodynamique en 1/epsilon est nécessaire si l'on veut que le gradient de pression intervienne dans les équations de l'ordre zéro.
L'intuition physique permet en effet de penser qu'il faut une force due à la pression importante,
pour pouvoir entrer en balance avec les forces visqueuses, quand nu est grand.
On remarque que le terme d/dt(V) ne figure pas dans les équations pour l'ordre zéro, avec les choix faits pour l'adimensionalisation.
En introduisant une autre échelle de temps (d'ordre epsilon) on obtient les équations de Stokes instationnaires :
div(V0)=0
Grad(p0)=-d/dt(V0)+Delta(V0)
On peut obtenir des équations variées, pour différents choix du développement asymptotique.
Certaines équations obtenues pour l'ordre zéro sont plus significatives que d'autres.
Certains choix conduisent à des problèmes mals posés.
Le caractère mal posé peut n'apparaître que pour la recherche des ordres supérieurs.
C'est le cas pour l'écoulement de Stokes stationnaire autour d'un cylindre, dans un domaine non borné.
On énonce quelques principes de moindre dégénérescence, dans les cours de D E A
mais, en l'absence de théorèmes mathématiques, les méthodes asymptotiques restent dans le domaine du savoir-faire de l'ingénieur.
Les équations de Prandlt, de Boussinesq... ont été introduites bien longtemps avant toutes tentatives de justification !
Les équations réduites restent souvent non linéaires, et parfois peuvent être aussi complexes que les équations de départ.
Il faut développer d'autres méthodes d'approximations, comme les méthodes spectrales, la discrétisation...
Les méthodes spectrales consistent à représenter la solution en série de fonctions.
Les fonctions de base sont choisies comme les fonctions propres d'un système linéaire, obtenu en linéarisant formellement les équations, autour d'une solution particulière.
On tronque les séries à un ordre n et on résout un problème en dimension finie pour les coefficients des séries tronquées.
Cette méthode s'appelle la méthode de Galerkin.
On ne peut pas, en général, démontrer la convergence de la méthode de Galerkin, quand n tend vers l'infini.
Nous terminons par quelques remarques sur la résolution numérique des équations du fluide visqueux.
On commence par discrétiser les opérateurs, par une méthode aux différences finies, ou aux éléments finis.
Les méthodes d'éléments finis sont bien adaptées aux domaines de forme compliquée, et sont utilisées dans les problèmes de météorologie.
On rencontre le plus souvent des discrétisations par différences finies,
des équations écrites en p,V ou en V,Oméga
Pour les équations en p,V on remarque que la pression n'est soumise à aucune condition sur une paroi,
tandis que la vitesse doit satisfaire la condition d'adhérence.
On choisit pour cela un maillage pour la pression, qui ne contient pas de points sur les parois,
et qui est différent du maillage pour la vitesse, qui contient des points des parois.
Pour les équations en V,Oméga on n'a pas de condition pour le tourbillon, sur une paroi.
On remédie à cette difficulté en discrétisant l'équation Oméga=Rot(V) au voisinage de la paroi,
et on y introduit la condition d'adhérence.
Pour la résolution avec des grands nombres de Reynolds, on discrétise les termes convectifs,
en introduisant une différence avancée, dans la direction du vecteur vitesse.
On comprendra la raison de ce choix, quand on parlera de la méthode numérique des caractéristiques,
pour la résolution des systèmes hyperboliques (voir les écoulements en eau peu profonde)
Enfin on doit chercher à satisfaire le mieux possible l'équation div(V)=0, car elle traduit la conservation de l'élément de volume, quand on le suit dans son mouvement.
Ainsi, pour les écoulements plans, on discrétisera les équations écrites avec la fonction de courant psi,
plutôt que les équations écrites avec les composantes u et v de la vitesse V