le liquide inhomogène
Description du cours 2
Dans le cours 2, nous écrivons l'équation bilan de conservation de la masse, sous sa forme eulérienne et sous sa forme lagrangienne.
On en déduit que la masse volumique se conserve le long des trajectoires du mouvement,
pour les mouvements isochoriques.
On utilise cet exemple pour introduire la méthode des caractéristiques de Riemann,
pour la résolution d'une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire du premier ordre.
Mouvements isochoriques d'un liquide inhomogène
Nous abandonnons l'hypothèse d'homogénité du liquide.
Un liquide est caractérisé par la conservation de tout élément de volume,
quand on le suit dans son mouvement.
On dit alors que le mouvement est isochorique.
Cette condition se traduit, sous forme globale par :
d/dt(intégrale(dans d de) (dv))=0
quelque soit le domaine d, occupé par des particules à l'instant t.
On en déduit que :
div(V)=0
si V est de classe C1(par rapport à X)
cette équation purement cinématique, caractérise l'isochoricité, en représentation eulérienne.
On peut traduire cette condition, pour la description du mouvement, sous la forme :
jbar=1 avec jbar=déterminant de(d/dX0((xbar(x0,t0;t))
la grandeur jbar est la dilatation volumique dvbar/ddv0 et div(V) est le taux de dilatation volumique 1/dv*D/Dt(dv)
(voir l'exercice 1.1.1)
La loi bilan de conservation de la masse se réduit alors à :
D/Dt(rho)=0
qui est équivalente, en variables lagrangienne, à l'équation :
d/dt(rhobar)=0
où rhobar=rho(Xbar,t) si X=Xbar(X0,t0;t) est la description lagrangienne du mouvement.
Nous remarquons que l'équation pour rho s'écrit :
d/dt(rho)+V.Grad(rho)=0
C'est une équation aux dérivées partielles du premier ordre, en X,t linéaire, homogène, à coefficients non constants, que l'on peut résoudre par la méthode des caractéristiques.
Les caractéristiques sont données en intégrant le système :
d/dt(X)=V(X,t)
La solution est donnée par :
rho est constant le long des courbes caractéristiques.
Comme V(X,t) est la donnée du champ de vecteur vitesse de la description eulérienne du mouvement,
les caractéristiques sont les trajectoires X=Xbar(X0,t0;t)
En utilisant la condition initiale rhobar(X0,t0;t0)=rho0(X0), on obtient :
rho(X,t)=rho0 pour X=Xbar(X0,t0;t)
On remarque que l'obtention de la solution du problème écrit en représentation eulérienne a nécessité la résolution d'une équation aux dérivées partielles, par la méthode des caractéristiques de Riemann.
Le même problème, écrit en représentation lagrangienne pour la fonction inconnue rhobar, donne immédiatement :
rhobar(X0,t0;t) est indépendante de t
la condition initiale donne alors :
rhobar(X0,t0;t)=rho0(X0) quelque soit X0
Dans un mouvement de liquide inhomogène, la répartition de masse volumique est connue à partir de sa répartition initiale, dès que l'on connait ses trajectoires.
Les inconnues du problème eulérien sont rho, p et V fonctions de X,t
Les inconnues lagrangiennes sont pbar et Vbar, fonctions de X0,t compte tenu de la solution rhobar=rho0(X0)
On remarque que la formulation lagrangienne permet de réduire le problème d'une fonction inconnue !
Nous nous limiterons à l'étude du liquide inhomogène parfait.
Sa loi de comportement s'écrit :
sigma(i,j)=-p*delta(i,j)
où p(X,t est la pression hydrodynamique.
l'équation locale qui traduit le bilan de conservation de mouvement s'écrit, en description eulérienne :
rho*D/Dt(V)=-Grad(p)+rho*F
où F est la densité massique de forces extérieures.
La condition nécessaire d'existence de la pression donne l'équation de compatibilité :
Rot(rho*F-rho*Gamma)=0
Elle s'écrit encore :
Grad(rho)*(F-Gamma)+rho*Rot(F-Gamma)=0
On retrouve l'équation de compatibilité du liquide homogène, quand rho=r0.
Le terme supplémentaire contribue à une production tourbillonnaire, dès que l'on a un gradient de masse volumiqque.
On recherchera des solutions, pour le problème aux valeurs initiales et les conditions de glissements aux parois,
comme pour le liquide homogène (voir c1.6 et c1.7)
Dans les exercices sur ce cours, on se limite aux problèmes d'équilibre et d'équilibre relatifs.
exercices sur le cours 2
cours suivant : écoulements d'un liquide par rapport à un repère relatif
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