exercices sur le cours 2

2.1 Ecrire les conditions nécessaires d'équilibre d'un liquide inhomogène ?
l'équation pour la pression dans le milieu en équilibre est :
Grad(p)=rho*F
la condition nécessaire d'existence de la pression hydrostatique s'écrit :
Rot(rho*F)=0
Cette équation s'écrit encore :
Grad(rho)*F+rho*Rot(F)=0
Nous supposerons que les forces extérieures dérivent d'une fonction de forces, c'est-à-dire :
F=Grad(u)
Dans ce cas, on a :
Grad(rho)=lambda*Grad(u)
Les surfaces d'isodensité doivent être des surfaces de niveau du champ de forces.
On peut alors calculer la pression hydrostatique à partir de :
Grad(p)=rho*Grad(u)
Les surfaces isobares doivent aussi être des surfaces de niveau du champ de forces.
Application :
Prenons comme champ F=-g*K
où K est la verticale ascendante du lieu.
on a alors :
u=-g*z+constante
Les surfaces de niveau sont les plans horizontaux.
Il faut se donner une répartition de masse volumique rho(z), pour que l'équilibre soit possible.
Cette condition nécessaire n'est pas suffisante, pour obtenir un équilibre stable par rapport aux petites perturbations.
La fonction rho doit être une fonction décroissante de z.
On doit donc se donner un liquide stratifié par couches horizontales, les couches les plus denses étant les plus profondes.
Les surfaces isobares sont aussi des plans horizontaux, et la fonction p(z) est donnée par :
dp=-rho(z)*g*dz
soit p(z)=p(z0)-g*intégrale(de z0 à z)(rho(s)*ds
On peut réaliser une répartition rho(z) à partir d'un liquide qui possède une loi de dilatation rho(T) où T est la température.
On calculera les éléments de réduction du torseur équivalent aux forces de pression exercées sur une paroi, à partir de cette répartition p.
On reprendra cet exercice dans les exercices sur le cours 3, avec le problème d'équilibre relatif.
3.2 écrire les équations du mouvement d'un liquide inhomogène parfait, en représentation lagrangienne ?
Nous avons déja écrit la condition d'isochoricité dans le cours, soit jbar=1
Pour écrire l'équation locale de bilan de conservation de mouvement, partons de sa forme globale, écrite en variables lagrangiennes :
d/dt(intégrale(dans v0 de)(rho0*d/dt(Vbar(i)*jbar*dv0+intégrale(dans v0 de)(d/dx(i)(p)-rho0*f(i))*jbar*dv0
on calcule le gradient de pression en utilisant : p(xbar(j),t) identique à pbar(x0(j,t0;t)
ce qui donne :
d/dx(i)(p)=d/dx0(j)(pbar)*d/dx(i)(x0(j))
On en déduit l'équation locale (avec jbar=1) :
rho0*d2/dt2(xbar(i)=-d/dx0(j)(pbar)*d/dx(i)(x0(j)+rho0*f(i)
si l'intégrant est continu.
Le problème écrit en variables lagrangiennes est toujours non linéaire, mais les non linéarités se sont déplacées !
La quantité d'accélération est maintenant linéaire, tandis que la pression intervient d'une manière non linéaire.
Signalons aussi que la condition jbar=1 est aussi non linéaire.
On ne peut pas dire que cette formulation soit vraiment plus simple que la formulation eulérienne !