Mouvements d'un liquide par rapport à un repère relatif
Nous écrivons dans ce cours,
les équations du mouvement en représentation eulérienne,
pour le champ de vitesse relatif V(X,t)
pour un mouvement d'entrainement quelconque par rapport au repère absolu.
La formule de composition des vitesses s'écrit :
Vabsolu(X,t)=Ventrainement(X,t)+V(X,t)
où la vitesse d'entrainement de X à l'instant t, est la vitesse du point coïncidant avec X, mais lié au repère entrainé.
On donne le mouvement d'entrainement en se donnant le distributeur de vitesse Vent(O,t) et Omégaent(t)
La vitesse d'entrainement d'un point M est donnée par :
Vent(M,t)=Vent(O,t)+Omégaent*OM
Dans les cours 1 et 2, la formulation a été faite en fonction du champ de vitesse absolu.
La condition div(Vabsolu)=0 s'écrit :
div(Vent)+div(V)=0
puisque l'opérateur de la divergence est un opérateur linéaire.
on remarque que div(Vent)=0
ce qui est naturel, puisque le mouvement d'entrainement est un mouvement de solide rigide.
Le calcul de Delta(Vabsolu) dans les équations de Navier Stokes donne :
Delta(Vabsolu)=Delta(Vent)+Delta(V)=Delta(V)
puisque le Laplacien est un opérateur linéaire du deuxième ordre par rapport à X,
et que la vitesse Vent est linéaire par rapport à X.
On aurait pu écrire ce résultat directement,
en se souvenant que la loi de comportement est indépendante de l'observateur,
et ne dépend que des propriétés de la matière.
Ce principe d'objectivité se traduit par l'invariance de la loi de comportement,
dans tout changement de repère.
Il reste à écrire la formule de composition des accélérations, qui s'écrit :
Gammaabsolu=Gammaent+Gammacoriolis+Gamma
ou l'accélération d'entrainement est l'accélération du point coincidant lié au repère entrainé,
et ou l'accélération de Coriolis est :
Gammacoriolis=2*Omégaent*V
Il est facile d'exprimer Gammaent à partir du distributeur des vitesses d'entrainement :
Gammaent(M,t)=Gammaent(O,t)+d/dt(Omégaent)*OM+Omégaent*(Omégaent*OM)
L'équation de bilan de quantité de mouvement s'écrit alors :
rho*D/Dt(V)=rho*F-rho*Gammaent-2*rho*Oméga*V-Grad(p)+mu*Delta(V)
où F est la densité massique des forces extérieures.
On obtient un système d'équations formellement identique à celui des mouvements absolus,
à condition d'inclure, dans les actions extérieures,
les densités de forces fictives d'entrainement et de Coriolis
exercices sur le cours 3
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