exercices sur le cours 3

3.1 écrire les conditions d'équilibre relatif d'un liquide homogène, pesant,
quand le mouvement d'entrainement est une rotation uniforme autour de la verticale ?
L'équation pour l'équilibre relatif s'écrit :
Grad(p)=-r0*g*K+r0*oméga**2*r*Er
où Er, Ethéta, K sont les vecteurs unitaires des coordonnées cylindriques r,téta,z
La condition nécessaire d'existence de la pression hydrostatique est :
Rot(-r0*g*K+r0*oméga**2*r*Er)=0
qui est toujours vérifiée.
On obtient la pression par une quadrature :
p=p0+1/2*r0*r**2*oméga**2-r0*g*(z-z0)
où p0 est la pression en r=0 et z=z0.
les surfaces isobares sont des paraboloïdes de révolutions d'équation : z=r**2*oméga**2/(2*g)+z0
Si on considère un liquide homogène visqueux qui occupe le domaine r<=l et 0<=z<=z0, d'un cylindre circulaire au repos, la solution d'équilibre relatif correspond à une rotation en bloc, quand le cylindre est animé de la rotation oméga*K
C'est une solution stationnaire, que l'on peut réaliser en animant progressivement le cylindre, du repos jusqu'à la rotation uniforme oméga*K.
Le liquide est entrainé par viscosité, en raison de la condition d'adhérence à la paroi.
On remarque que les équations d'équilibre sont identiques, pour un liquide parfait et pour un liquide visqueux.
Par contre, la condition de glissement à la paroi, ne permet pas d'entrainer le liquide !
3.2 reprendre l'exercice précédent pour un équilibre relatif d'un liquide inhomogène, pesant, parfait.
3.3 écrire les équations linéarisées autour des solutions d'équilibre des exercices précédents.