L'approximation du fluide parfait
Description du cours 4
Dans ce cours, on justifie l'étude des mouvements irrotationnels des liquides parfaits,
en démontrant les théorèmes de Helmholtz, pour le flux tourbillonaire.
Nous commencerons par démontrer ces théorèmes, pour les écoulements plans instationnaires,
Le cas général nécessite le calcul de la dérivée matérielle de l'intégrale du flux tourbillonnaire,
qui traverse une surface.
Ce calcul un peu technique, ne doit pas être un obstacle pour la compréhension de la démonstration des théorèmes.
L'approximation du liquide parfait permettra d'obtenir des résultats,
en dehors des sillages et des couches limites.
On rencontrera des problèmes mal posés, ou irréalistes,
qui sont parfois présentés comme des paradoxes !
Ces paradoxes apparents s'expliqueront,
en replaçant le problème, dans le cadre du liquide de Navier Stokes.
4.1 théorèmes de Helmholtz pour les écoulements plans instationnaires
cas général
4.1 théorèmes de Helmholtz pour les écoulements plans instationnaires
Les théorèmes de Helmholtz pour le cas particulier des mouvements plans
Réécrivons l'équation de compatibilité, pour l'unique composante oméga, portée par K,
du tourbillon Oméga, pour un écoulement plan,
parallèle au plan xOy :
d/dt(oméga)+u*d/dx(oméga)+v*d/dy(oméga)=K*Rot(F)+1/reynolds*delta(oméga)
Nous supposons que les forces massiques extérieures F dérivent d'une fonctions de forces,
et que le liquide est parfait (1/reynolds=0)
On en déduit :
D/Dt(oméga)=0
Le tourbillon est donc constant, quand on le suit dans son mouvement.
Cette propriété s'écrit, en représentation lagrangienne :
omégabar(x0,y0,t0;t)=oméga0(x0,y0)
où oméga0 est la donnée de la répartition tourbillonnaire, dans la configuration à l'instant t0.
On peut énoncer, avec Helmholtz :
Dans un mouvement plan d'un liquide parfait, avec Rot(F) nul,
le tourbillon se conserve le long des trajectoires.
On en déduit les corollaires suivants :
Si il existe une configuration dans laquelle le liquide est en équilibre,
le mouvement est irrotationnel.
L'écoulement est irrotationnel dans tout le domaine balayé par les trajectoires,
issues d'un domaine dans lequel l'écoulement est irrotationnel.
On peut encore dire que le caractère tourbillonnaire des écoulements étudiés,
ne peut ni apparaitre, ni disparaitre !
Autrement dit, c'est la nature visqueuse du liquide, ou le caractère rotationnel des forces extérieures,
qui est responsable de la production ou de la destruction du tourbillon.
Dans un écoulement réel autour d'un obstacle, on observe un sillage à l'arrière du corps.
Ce sillage est d'autant plus important que le corps est mal profilé.
Ce sillage est particulièrement important,
derrière une plaque plane perpendiculaire à un écoulement uniforme à l'infini amont.
Si on réalise cet écoulement à partir du repos, le corollaire précédent est en contradiction !
Pour expliquer ce paradoxe apparent, il faut revenir au liquide visqueux.
4.2 théorèmes de Helmholtz dans le cas général
Cas général des mouvements tridimensionnels
L'équation de compatibilité s'écrit, pour les écoulements instationnaires tridimensionnels d'un liquide de Navier Stokes :
d/dt(Oméga)+Rot(Oméga*V)=Rot(F)+1/reynolds*Delta(Oméga)
où Oméga est le vecteur tourbillon.
Si nous supposons que le rotationnel des forces massiques extérieures F est identiquement nul,
et que le liquide est parfait, on obtient :
d/dt(Oméga)+Rot(Oméga*V)=0
Cette équation vectorielle représente un système de 3 équations aux dérivées partielles,
linéaires, du premier ordre, à coefficients non constants,
pour les composantes oméga(i) du tourbillon,
si on suppose que V(X,t) est donné.
C'est un système hyperbolique, que l'on peut transformer par la méthode des caractéristiques.
On en détuira la solution Omégabar(X0,t0;t) du problème aux valeurs initiales,
qui correspond à la donnée Oméga0(X0) à l'instant t0.
L'interprétation de ce système d'équations est bien moins évidente que pour le cas des mouvements plans.
Plutôt que d'utiliser la méthode des caractéristiques, on montre, en utilisant la représentation lagrangienne,
que ce système traduit l'équation locale de la conservation de la densité surfacique du flux tourbillonnaire.
Pour cela, on peut partir de la dérivée matérielle du flux tourbillonnaire,
qui traverse une surface S.
On montrera que :
D/Dt(intégrale(dans S de)(Omega.dS)=intégrale(dans S de)(d/dt(Oméga)+Rot(Oméga*V)).dS
Ce résultat s'obtiendra facilement, en utilisant les calculs faits dans les exercices sur le cours 1,
pour exprimer D/Dt(ds(i))
ou ds(i) est la i ème composante de l'élément vectoriel d'aire, en coordonnées cartésiennes.
On en déduit que le flux tourbillonnaire au travers de toute surface S,
se conserve au cours du mouvement.
Ceci s'écrit :
intégrale(dans Sbar de)(Omégabar.dSbar)=intégrale(dans S0 de)(Oméga0.dS0
quelque soit la surface S0 de la configuration à l'instant t0.
On transforme le membre de gauche par le changement de variables Xbar donne X0,
qui fait passer de la configuration à l'instant t, à la configuration à l'instant t0.
On en déduit, en supposant que l'intégrant est continu :
oméga(i)*d/dx0(k)(xbar(i))=oméga0(k)
On peut inverser ce système linéaire, puisque le déterminant du système est j=det(d/dx0(k)(xbar(i)), qui vaut 1.
Le tourbillon à tout instant, s'exprime donc linéairement à partir de la donnée initiale de répartition tourbillonnaire.
On pourra ainsi énoncer le théorème de Helmholtz et ses corollaires, comme précédemment.
On peut faire des remarques supplémentaires, qui concernent les surfaces du champ Oméga(X,t), à tout instant.
On appelle surface tourbillon à l'instant t, une surface tangente en chacun de ses points X,
au vecteur Oméga(X,t).En général, les surfaces d'un champ de vecteur, décrit en représentation eulérienne,
ne restent pas des surfaces du champ,
quand on suit les particules qu'elles contenaient à l'instant t, dans leur mouvement.
La conservation du flux tourbillonnaire entraîne que les surfaces tourbillons restent, à tout instant, des surfaces tourbillons, quand on les suit dans leur mouvement.
Il en est de même pour les lignes tourbillon.
Les lignes et surfaces tourbillons se déplacent et se déforment au cours du mouvement, mais sont figées (comme de la gélatine, si cette comparaison peut éclairer le lecteur !)
On définit un tube tourbillon comme une surface tourbillon qui s'appuie sur une courbe fermée C.
Si on définit l'intensité d'un tube tourbillon, comme l'intégrale :
I=intégrale(le long de C de)(V.dC
on montre que I est indépendant de la courbe particulière tracée sur le tube tourbillon.
La formule de la divergence et la conservation du flux tourbillonnaire, appliquées à une portion de tube tourbillon,
montre que l'intensité I d'un tube tourbillon se conserve,
quand on le suit dans son mouvement.
Ainsi, si l'on introduit, pour les mouvements plans instationnaires, des circulations autour des obstacles,
ces circulations seront indépendantes de t.
exercices sur le cours 4
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