Ondes de gravité dans les liquides avec une surface libre

Description du cours 5

Dans ce cours, on étudie les mouvements d'un liquide parfait, pesant, en présence d'une surface libre.
Un premier chapître est consacré à la théorie linéarisée, pour les écoulements irrotationnels.
le chapitre C5.2 traite l'approximation en eau peu profonde.

5.1 Théorie linéarisée

Théorie linéarisée en eau profonde

Ecrivons les équations pour le potentiel des vitesses phi,
pour un écoulement irrotationnel d'un liquide parfait.
L'équation div(V)=0 donne :
delta(phi)=0 dans le domaine d'écoulement,
où phi est une fonction de x,y,z,t, avec V=Grad(phi).
La condition de glissement sur une paroi fixe s'écrit :
Grad(phi).N=0 sur la paroi,
où N désigne un vecteur normal, en tout point de la paroi.
Nous supposons que le liquide est pesant, et nous désignons par K, le vecteur unitaire de la verticale ascendante.
la force volumique correspondante est -r0*g*K, qui s'écrit encore -r0*g*Grad(z).
On suppose que le liquide est en contact avec une atmosphère au repos à la pression p0, par l'intermédiaire d'une surface libre d'équation z=h(x,y,t).
Enfin, on suppose qu'aucun flux de matière ou d'énergie ne traverse cette surface,
de sorte que l'on considère que cette surface est une surface matérielle.
Cette condition cinématique se traduit, en description eulérienne, par :
w=d/dt(h)+u*d/dx(h)+v*d/dy(h)
L'équation de la surface libre est une inconnue du problème, sur laquelle on doit écrire la condition dynamique,
qui traduit la continuité de la contrainte, à la traversée de la surface libre.
Cette condition dynamique s'écrit :
p=p0 sur z=h(x,y,t).
La pression est donnée par l'intégration de :
1/r0*Grad(p)=-Grad(d/dt(phi)+V.V/2+g*z)
on obtient :
d/dt(phi)+V.V/2+g*z+p/r0=c(t)
La condition dynamique est donc : d/dt(phi)+V.V/2+g*z=0 pour z=h(x,y,t), quelque soit t.
La condition cinématique et la condition dynamique apparaissent comme 2 relation non linéaires, qui relient les inconnues phi et h, le long d'une surface inconnue.
On peut linéariser formellement ce problème, en introduisant un petit paramètre epsilon,
qui est le rapport de l'amplitude de la surface libre, à une longueur caractèristique.
Cette longueur peut être une hauteur du liquide, par rapport au fond, ou une longueur d'onde...
Les hypothèses pour les petites perturbations sont : z=epsilon*hbar et phi=epsilon*psibar
où hbar et psibar sont des fonctions bornées,
ainsi que toutes leurs dérivées partielles, quand epsilon tend vers 0.
On développe toutes les grandeurs qui interviennent dans les équations, en séries de Taylor Young, au voisinage de epsilon=0,
en ne retenant que les infiniment petits principaux.
On ne donne aucune justification de la linéarisation formelle,
qui ne sera justifiée que par comparaison avec l'expérience.
Les conditions linéarisées sur la surface libre s'écrivent : d/dz(phibar)=d/dt(hbar) sur z=0
d/dt(phibar)+g*hbar=0 sur z=0
On remarque que les conditions sont appliquées sur la surface non perturbée z=0, pour rester cohérent avec les termes infiniment petis négligés devant les termes retenus.
On récapitule les équations que doit satisfaire le potentiel des vittesses de perturbation et l'équation linéarisée de la surface libre :
delta(phi)=0 dans le domaine (llinéarisé occupé par le liquide)
Grad(phi).N=0 sur les parois fixes
d/dz(phi)=d/dt(h) sur z=0
d/dtt(phi)+g*h=0 sur z=0
où l'on a noté phi et h, les fonctions désignées précédemment par phibar et hbar.
Ce problème linéaire se découple en un problème pour phi, obtenu en éliminant h entre les 2 conditions sur z=0 :
d2/dt2(phi)+g*d/dz(phi)=0 sur z=0 quelque soit t.
Ce problème pour phi, peut être résolu par une méthode de séparation des variables,
pour des bassins en profondeur finie ou infinie.
On construit des solutions particulières du type onde stationnaire ou onde progressive, dans les exercices D5.1
Une fois que phi est trouvée, on en déduit la forme de la surface libre par :
z=-1/g*d/dt(phi(x,y,0))

c5.2 approximation en eau peu profonde
5.2 approximation en eau peu profonde

Approximation de Saint Venant, pour les écoulements en eau peu profonde

La théorie linéarisée ne donne pas des résultats satisfaisants, pour des écoulements dans les canaux.
C'est aussi le cas pour les ondes de surfaces de la mer, quand on s'approche de la côte (déferlement des vagues, rouleaux...)
Même pour les mouvement de la surface libre des océans en pleine mer, on rencontre des mouvements qui ne peuvent pas être expliqués par la théorie linéarisée (onde solitaire)
On développe un autre type d'approximation, que l'on appelle l'approximation en "eau peu profonde".
On suppose que le champ de vitesse est de la forme :
u(x,t) ; v(x,y,t) ; w=0
où y est la coordonnée associée au vecteur J de la verticale ascendante.
C'est un mouvement pseudo unidimensionnel, où est supposé indépendant de y.
On fait une hypothése supplémentaire, sur la nature quasistatique, pour l'équation de quantité de mouvement,
en projection sur J.
On écrit : 0=-d/dy(p)-r0*g
Ceci revient à négliger le terme r0*D/Dt(v) devant les forces de pression et la force extérieure.
Si on intégre cette équation par rapport à y, on obtient :
p=f(x,t)-r0*g*y
Si la surface libre d'équation y=h(x,t) est en contact avec une atmosphère au repos, à la pression p0,
la condition dynamique à la traversée de la surface libre impose :
p0=f(x,t)-r0*g*h pour tout x et tout t.
ce qui détermine la fonction arbitraire f(x,t).
La pression hydrodynamique, dans toute section x, vaut :
p=p0-r0*g*(y-h)
C'est le poids de la colonne d'eau au dessus du point x,y.
On en déduit que le gradient de pression d/dx(p) le long de x, ne dépend que de x, et vaut :
d/dx(p)=r0*g*d/dx(h)
L'équation div(V)=0 et l'équation de conservation de la quantité de mouvement en projection sur I, s'écrivent :
d/dx(u)+d/dy(v)=0
r0*(d/dt(u)+u*d/dx(u))=-r0*g*d/dx(h)
On peut intégrer ces équation par rapport à y,pour les interpréter comme des bilans globaux de conservation, dans une tranche x=x0.
On obtient, si y=hfond(x) est l'équation du fond :
(h-hfond)*d/dx(u)+v(x,h,t)-v(x,hfond,t)=0
r0*(h-hfond)*(d/dt(u)+u*d/dx(u))=-r0*g*h-hfond)*d/dx(h)
Ce système d'équations aux dérivées partielles quasi linéaire du premier ordre,
pour les 2 fonctions inconnues u et h-hfond,
ressemble aux équations des mouvements homentropiques, unidimensionnels, d'un gaz parfait.
Pour les canaux à fond horizontal,
l'analogie est complète, avec un gaz fictif, à chaleurs spécifiques constantes, d'indice adiabatique égal à 2.
Pour un fond qui n'est pas horizontal, l'équation de quantité de mouvement possède un second membre non nul.
On donnera des exemples de problèmes, que l'on résoudra par la méthode des caractèristiques de Riemann,
dans les exercices e5.

exercices sur le cours 5

cours suivan : mouvements d'obstacles dans un liquide parfait

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