approximation en eau peu profonde
5.1 Théorie linéarisée
5.2 approximation en eau peu profonde.
La résolution des exercices qui suivent nécessite des connaissances sur la méthode des caractéristiques de Riemann,
que l'on peut obtenir en théorie linéarisée, suivant les conditions aux limites.
On envisagera les cas d'une profondeur finie ou infinie, de parois verticales ou d'absence de telles parois...
5.1.1 Rechercher les solutions à variables séparées, en coordonnées cartésiennes x,y,z,
des équations linéarisées du mouvement irrotationnel d'un liquide pesant.
réponse :
On cherche le potentiel des vitesses de perturbation sous la forme :
phi(x,y,z,t)=k(t)*f(x)*g(y)*h(z)
L'équation delta(phi)=0 donne :
1/f*d2/dx2(f)+1/g*d2/dy2(g)+1/h*d2/dz2(h)=0
On en déduit que chacun des 3 rapports doit être constant.
Les solutions pour f, g,h, sont des combinaisons d'exponentielles réelles ou imaginaires pures,
suivant le signe des constantes qui s'introduisent par la séparation des variables.
Si le domaine de l'écoulement est le demi-espace z<=0, la recherche d'une solution bornée à l'infini, montre que l'on doit choisir :
1/f*d2/dx2(f)=-a**2
1/g*d/dy2(g)=-b**2
1/h*d2/dz2)=a**2+b**2
On trouve les solutions particulières :
f=exp(+ou-i*a*x)
g=exp(+ou-i*b*y)
h=exp(c*z)
avec c=racine(a**2+b**2)
Comme le problème est linéaire, toute combinaison linéaire de solutions particulières est encore solution.
On peut ainsi construire, par superposition, une solution de la forme :
phi=partie réelle de (somme(par rapport à a et b)(phi(a,b)*k(t)*exp(+ou-i*a*x)*exp(+ou-i*b*y)*exp(c*z)
Cette écriture signifie que l'on peut combiner des solutions élémentaires, avec les signes plus ou moins, avec des coefficients phi(a,b) complèxes,
en se souvenant que le résultat doit être une fonction à valeurs réelles.
La condition que doit vérifier phi sur la surface libre z=0, définit la fonction k(t), qui dépendra des constantes a et b.
Elle s'écrit :
d2/dt2(phi)+g*d/dz(phi)=0 sur z=0 quelque soit t.
On obtient pour k(t), l'équation différentielle :
d/dt2(k)+g*c*k=0
On choisit c>0 pour obtenir des solutions particulières k de la forme :
k(t)=exp(+ou-i*racine(gc)*t)
5.1.3Reprenez les exercices précédents, en supposant que le bassin possède une paroi verticale en x=0, ou en x=0 et x=xl.
5.1.4 même exercice que précédemment mais avec en plus des parois verticales en y=0 et y=yl.
5.1.5 Traiter le problème pour un bassin circulaire.
5.1.6 pour tous les exercices précédents, expliciter la forme de la surface libre.
Interpréter les résultats, en terme d'onde stationnaire ou d'onde progressive.
Construire les trajectoires des particules (en se souvenant que l'on travaille avec les hypothèses des petites perturbations).
Donner l'expression de la pression hydrodynamique.
<5.1.7 Montrer que l'on peut construire la solution unique du problème,
pour un bassin avec des parois verticales,
quand on se donne des conditions initiales pour phi et pour h.
On montrera en particulier, que ces conditions déterminent d'une manière unique,
les constantes arbitraires qui s'introduisent dans la représentation de la fonction phi.
Préciser les conditions que doivent vérifier les données initiales,
pour assurer l'existence de cette solution?
pour les systèmes d'équations quasilinéaires.
Vous trouverez un rappel de la méthode des caractéristiques dans l'annexe.
Pour tous les exercices qui suivent, vous dessinerez, dans le plan (x,t) le support des données.
Vous indiquerez les régions d'ondes simples, d'interaction d'ondes simples... dans ce plan et dans le plan (u,c) où c=racine(g*h).
Vous étudierez l'apparition éventuelle de la cavitation, à la frontière du domaine d'écoulement.
5.2.1 Transformer les équations du problème, en utilisant la méthode des caractéristiques.
Montrer que le système est un système hyperbolique normal, en tout point où la hauteur d'eau est strictement positive.
5.2.2 Montrer que le problème est réductible, quand le fond du canal est plat.
Montrer qu'il existe 2 invariants de Riemann u+2*c et u-2*c, où c=racine(g*h).
Montrer que les équations peuvent être mises en analogie avec celles des mouvements unidimensionnels instationnaires,
d'un gaz parfait fictif, à chaleurs spécifiques constantes, d'indice adiabatique gamma=2.
5.1.3 Construire la solution du problème de la rupture d'une digue, située en x=0 aux instants t < 0.
Etudiez le problème quand le mouvement de la paroi est x=-v*t, pour t > 0, avec v > 0.
Traiter le problème dans le cas où le liquide au repos aux instants t < 0, occupe le domaine x>0.
Reprenez le problème, quand le liquide au repos aux instants t < 0, occupe le domaine 0 < x
Dans ce dernier cas, on résoudra le problème, dans la région d'interaction d'ondes simples,
par la méthode numérique des caractéristiques.