Mouvements instationnaires d'un obstacle dans un liquide


Description du cours 6


Les écoulements plans stationnaires, irrotationnels, d'un liquide parfait,
sont largement étudiés dans les cours de la licence de mécanique.
De nombreux auteurs ont étudiés ce problème.
Nous pouvons citer Caius jacob et Milne Thompson, pour une bibliographie de base.
Nous supposerons que le lecteur possède une bonne connaissance de ces exemples.
Dans ce cours, on étend l'étude aux écoulement instationnaires bi et tridimensionnels.
6.1 formulation du problème plan instationnaire

Cas des mouvements plans instationnaires irrotationnels


Nous supposons que les forces extérieures sont identiquement nulles.
La condition Rot(V)=0, permet d'introduire le potentiel des vitesses phi(x,y,t) tel que : V=Grad(phi)
l'équation div(V)=0 entraîne que phi est une fonction harmonique de x,y quelque soit t :
delta(phi)=0
La condition de glissement le long d'une paroi en mouvement impose :
Grad(phi).N=V(X appartenant à la paroi).N
où N désigne le vecteur unitaire normal extérieur en tout point de la paroi, quelque soit t.
Si le domaine d'écoulement s'étend jusqu'à l'infini,
il faut imposer des conditions à l'infini.
On peut reformuler ce problème pour le potentiel des vitesses phi, en un problème pour la fonction de courant psi(x,y,t)
Comme on a :
u=d/dy(psi)=d/dx(phi)
v=-d/dx(psi)=d/dy(phi)
la fonction psi est la fonction harmonique conjuguée de phi, et l'on peut introduire :
f(z,t)=phi+i*psi
où z=x+i*y
La fonction f(z,t) est appelée le potentiel complèxe de l'écoulement instationnaire.
La condition de glissement le long d'une paroi se traduit avec psi par :
d/dy(psi)*N.I-d/dx(psi)*N.J= vitesse normale du point lié à la paroi.
Si on introduit le vecteur unitaire T, tangent à la paroi, déduit par rotation de pi/2 à partir du vecteur N, on a :
N.I=T.J
N.J=-T.I
Ceci montre que : Grad(phi).N=Grad(psi).T
le long de la paroi.
La condition de glissement traduite avec psi, peut être intégrée le long de laparoi.
Le problème aux limites pour psi est un problème du type Dirichlet,
tandis que le problème pour phi est un problème du type Neuman.
La recherche de phi, ou de psi, sera abordée plus loin.
La pression est donnée par :
1/r0*Grad(p)=-Grad(d/dt(phi)+V.V/2)
On en déduit : d/dt(phi)+V.V/2+p/r0=c(t)
où c(t) est une fonction arbitraire du temps.
4.2 mouvement plan d'un solide dans un liquide parfait.

Mouvement d'un seul solide, masse induite et inertie induite


Le problème pour phi, ou pour psi, est un problème en x,y,t,
pour lequel les variables spatiales x,y sont couplées au temps, par l'intermédiaire de la condition de glissement le long des parois.
Dans le cas où un seul solide est en mouvement dans le liquide,
on peut découpler le problème de la manière suivante :
on introduit le changement de variables qui fait passer des coordonnées x,y à un système de coordonnées X,Y liées au solide.
Les grandeurs liées à la géométrie du solide, qui interviennent dans la condition de glissement,
sont indépendantes du temps, dans ce nouveau système de coordonnées.
La linéarité du problème, reformulé dans le nouveau système de coordonnées,
permet de décomposer le problème en 3 problèmes classiques de Dirichlet pour psi (ou de Neuman pour phi)
On trouvera dans les exercices e6.1 des applications pour un mouvement de translation et pour une rotation autour d'un axe fixe.
6.3 mouvements tridimensionnels d'un liquide parfait

Cas général des mouvements tridimensionnels


Si les forces extérieures sont irrotationnelles, on peut écrire : F=Grad(U)
où la fonction scalaire U(X,t) est la fonction de forces associée.
Si on suppose que l'écoulement est irrotationnel,
on peut introduire, comme précédemment, le potentiel des vitesses phi(x,y,z,t), défini par :
V=Grad(phi)
l'équation div(V)=0, montre que phi est une fonction harmonique de x,y,z, quelque soit t.
Il n'existe pas de fonction de courant, pour les écoulements tridimensionnels,
de sorte qu'il faut résoudre, pour phi, un problème du type de Neuman :
Grad(phi).N=vitesse normale du point lié à la paroi, quelque soit t.
Si le domaine occupé par le liquide est non borné, il faut ajouter des conditions aux limites à l'infini.
Une fois phi déterminée, la pression est donnée par :
1/r0*Grad(p)=Grad(U-d/dt(phi)-V.V/2)
On obtient par intégration :
d/dt(phi)+V.V/2-U+p/r0=c(t)
où c(t) est une fonction arbitraire de t.
Comme pour les écoulements plans, le problème est couplé entre les variables x,y,z et le temps t,
par l'intermédiaire des conditions aux limites sur les parois.
Le problème peut être découplé, dans le cas où un seul solide est en mouvement dans le liquide.
Dans ce cas, on peut montrer que la solution s'obtient en superposant 6 problèmes de Neuman classiques.
Ces problèmes correspondent aux 6 degrés de liberté d'un mouvement tridimensionnel de solide.
On trouvera, dans l'exercice E6.3, une application au mouvement de translation d'une sphère.

exercices sur le cours 6

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