6.1 Cas plan
6.1 Mouvements irrotationnels instationnaires plans d'un liquide parfait.
Les exercices qui suivent nécessitent des connaissances sur les transformations conformes
et sur l'étude des fonctions d'une variable complexe.
Vous trouverez des rappels sur ces notions dans l'annexe 2.
6.1.1 Etudiez le mouvement de translation d'un disque, dans un liquide au repos à l'infini.
Calculez la pression hydrodynamique, et en déduire les éléments de réduction du torseur équivalent aux forces de pression,
exercées par le fluide sur le disque en mouvement.
Montrer que la résultante générale de ce torseur fait intervenir un terme supplémentaire, par rapport au problème stationnaire,
proportionnel à l'accélération du disque.
En déduire que les équations pour le mouvement du disque, peuvent s'écrire comme dans le cas stationnaire, à condition d'introduire la notion de masse fictive,
induite par le mouvement instationnaire du liquide, autour du disque.
Ecrire les équations qui définissent les lignes de courant à l'instant t.
Montrer que celles-ci sont les cercles d'un faisceau de cercle.
Vérifier que la frontière du disque
n'est pas une ligne de courant à l'instant t.
6.1.2 Retrouver, à partir de l'exercice précédent,
la solution pour l'écoulement instationnaire autour d'un disque fixe,
quand la vitesse à l'infini est donnée par V=vinfini(t)*I.
6.1.3 Mouvement de rotation d'une ailette.
Dans le plan (X,Y) on se donne le segment -l<=X<=l ; Y=0
Ce segment représente une ailette,
animée du mouvement de rotation oméga(t)*K, par rapport au repère absolu Oxyz.
En utilisant la transformation qui représente conformément l'extérieur du segment
sur l'extérieur du disque de rayon1, centré à l'origine d'un plan de la variable complexe zeta,
expliciter la condition de glissement, en fonction de zéta.
En déduire l'expression du potentiel complexe f(z,t) et de la vitesse complexe w=d/dz(f).
Cas tridimensionnel
6.2 Mouvements irrotationnels tridimensionnels instationnaires d'un liquide parfait.
La résolution du problème pour le mouvement d'un seul solide dans le liquide,
nécessite la résolution de problèmes de Neumann, pour le potentiel phi(X,Y,Z,t).
Ces problèmes font intervenir des calculs compliqués,
qui n'apportent rien pour la compréhension du problème physique.
Les calculs restent assez simples pour le mouvement de translation d'une sphère.
6.2.1 Ecrire les 6 problèmes de Neumann qu'il faut résoudre,
pour le potentiel des vitesses de l'écoulement
>BR>
exprimé en fonction des coordonnées X,Y,Z
d'un repère AXYZ, d'origine A, lié au solide en mouvement.
En déduire que le torseur equivalent aux forces de pression exercées par le liquide sur le solide,
introduit la notion de tenseur d'inertie induit par le liquide, sur le solide en mouvement.
6.2.2
Expliciter la solution pour phi,
quand le solide est une sphère en translation dans la direction K.
Calculer la masse induite par le liquide, sur la sphère en translation.
Montrer que ce terme doit être pris en compte
dans les équations du mouvement d'une sphère de rayon important.