exercices sur le cours 4

4.1 exprimer la dérivée matérielle de l'intégrale du flux tourbillonnaire,
en fonction du rotationnel de l'accélération, pour un liquide de Navier Stokes ?
réponse :
On peut écrire : D/Dt(intégrale(dans S de)(Oméga.dS))=intégrale(dans S de)(D/Dt(Oméga).dS+Oméga.D/Dt(dS))
Le calcul de la dérivée matiérielle de l'élément vectoriel d'aire se fait comme dans l'exercice E1.1
On obtient :
D/Dt(dv)=div(V)*dv=0=D/Dt(dS).dX+dS.D/Dt(dX)
On en déduit que :
D/Dt(ds(i))=-ds(j)*d/dx(i)(v(j)
En explicitant la dérivée matérielle de oméga(i) sous la forme :
D/Dt(oméga(i))=d/dt(oméga(i))+v(j)*d/dx(j)(oméga(i))
Les 2 derniers termes s'identifient avec la i ème composante de Rot(Oméga*v),
en tenant compte de div(V)=0 et de div(Oméga)=0,
ce qui donne finalement :
D/Dt(intégrale dans S de)(Oméga.dS)=intégrale(dans S de)(Rot(Gamma)).dS
puisque Rot(Gamma)=d/dt(Oméga)+Rot(Oméga*V)
4.2 Décrire l'écoulement plan stationnaire, d'un liquide parfait,
en l'absence de forces extérieures, autour d'un obstacle borné, quand la vitesse à l'infini amont est celle d'un écoulement uniforme ?
réponse :
En utilisant un corollaire du théorème de Helmholtz, on peut dire que toute la région balayée par les lignes de courant,
issues de l'infini amont, est une région dans laquelle l'écoulement est irrotationnel.
Si l'obstacle est mal profilé, il existe une ligne de courant qui définit un sillage en aval de l'obstacle,
qui s'étend en général jusqu'à l'infini aval.
Les lignes de courant qui remplissent le sillage, proviennent de l'infini aval,
où le tourbillon peut être supposé constant.
Avec cet hypothèse, et en utilisant le théorème de Helmholtz dans le sillage,
on en déduit que tout le sillage est une région dans laquelle le tourbillon est constant.
Le problème mathématique pour la fonction psi(x,y) est :
delta(psi)=0 en dehors du sillage
delta(psi)=constante dans le sillage
Ce problème est mal posé, car on ne connait pas la valeur de la constante,
ainsi que les portions de lignes de courant, qui limitent le sillage.
4.3 Ecrire l'équation sans dimension pour le tourbillon, pour un mouvement plan instationnaire, d'un liquide visqueux homogène, en l'absence de forces extérieures.
On désigne par eps l'inverse du nombre de Reynolds, que l'on suppose petit.
En déduire les équations de la couche limite près d'une paroi située en y=0.
Réponse :
Si eps désigne l'inverse du nombre de Reynolds, cette équation s'écrit :
Doméga/Dt = eps*delta(oméga), avec oméga = - delta(psi)
psi(x,y,t) est la fonction de courant définie par u=dpsi/dy et v=-dpsi/dx (qui s'introduit à partir de du/dx+dv/dy=0)
On pose y=eps**alpha * ybar (dilatation de la variable normale à la paroi) On cherche alpha, de telle sorte que les forces visqueuses soient du même ordre que les forces d'inertie, dans un voisinage ainsi dilaté de la paroi. On remarque que dv/dy doit être O(1) pour que ce terme soit du même ordre que du/dx, ce qui donne v=O(eps**alpha)
On a oméga=Oeps**-alpha)=-1/eps**alpha * du/dybar+...
On doit prendre alpha=1/2, pour équilibrer les forces visqueuses et les forces d'inertie.
L'équation pour oméga s'écrit, à des termes d'ordre supérieurs près :
d/dybar(du/dt+udu/dx+vdu/dybar-d2u/dybar2)+...=0
Elle s'intègre pour donner l'équation de quantité de mouvement, en projection sur Ox. On trouve que dp/dx est indépendant de y dans la couche limite
Finalement :
du/dt+udu/dx+vdu/dybar=UdUdx+d2u/dybar2
où U(x) est la vitesse à l'extérieur de la couche limite.
Pour la plaque plane sans incidence, U=1 et dU/dx=0.
L'équation dp/dybar=0 s'interprète comme l'approximation de l'équation de quantité de mouvement, en projection sur Oy.