Page de calculs mathématiques en ligne: une transformation sur les nombres (généralisant celle associée aux nombres heureux et malheureux); étude de la convergence de l'itération associée.

Cette transformation est de type suivant: un entier n (valeur initiale) étant choisi, on lui associe la somme des puissances p  (p est à choisir: 2, 3, 4, 5,..) de ses chiffres et on applique à nouveau cette transformation au résultat obtenu et ainsi de suite. Une telle transformation définit donc encore un système dynamique sur les entiers dont nous cherchons les attracteurs; nous parlerons de  transformation agréable.

Il s'agit d'essayer de savoir si, pour les entiers n et p choisis, cette itération converge vers un POINT FIXE ou vers un CYCLE ,et de quel ORDRE. On a utilisé la bibliothèque bcmath qui traite les entiers comme des chaînes de caractères, ce qui permet de considérer des grands nombres et des puissances jusqu'à l'ordre de 20 ou 30 (et plus, voir remarque ) mais on s'est limité volontairement aux cycles d'ordre maximum 2000.

Vous pourrez par exemple obtenir que 2007, nombre malheureux, converge vers un cycle d'ordre 8 pour p=2, vers le point fixe 153 pour p=3, vers un cycle d'ordre 7 pour p=4, vers un cycle d'ordre 22 pour p=5, vers un cycle d'ordre 10 pour p=6, ..., vers un cycle d'ordre 381 pour p=14...et vers un cycle d'ordre 271 pour p=29. Rappelons par ailleurs que les points fixes de telles transformations (qui sont donc des nombres égaux à la somme des puissances p de tous leurs chiffres) sont encore appelés des nombres narcissiques d'ordre p; tous les points fixes qui possèdent exactement p chiffres constituent les 88 nombres narcissiques parfaits (appelés encore nombres de Amstrong) connus: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, ...(Certains auteurs réservent le nom de nombres narcissiques ou de Amstrong uniquement à ces derniers).

Pour le seul cas p=2 voyez la page des nombres heureux et malheureux ou si vous préférez, testez directement un nombre pour savoir s'il est heureux ou malheureux.

Pour avoir la suite des itérés, voyez l'extension de ces simulations au cas de la transformation associant à un nombre, la somme des puissances p (3, 4, 5 ..) de ses chiffres

Pour plus de détails voyez le fichier sur  les transformations agréables.

Puissance choisie:

Valeur initiale:

Transitoire (à 1000 par défaut, ne choisir que si l'on veut):



Remarque

Si vous êtes persévérant vous pourrez trouver de nombreux cycles d'ordres assez grands,  par exemple pour p=40 un cycle d'ordre 1093 (dont un point est 597906965016410043142439528769450434806), un cycle d'ordre 1221 et un autre d'ordre 1319,  pour p=42 un cycle d'ordre 683, et même pour p=38 un cycle d'ordre 1593 (dont un point est 9165801175968557262816590304991010618)  mais à condition de bien choisir vos valeurs initiales et de bien utiliser divers choix du transitoire ....


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