Cette transformation est de type suivant: un entier n (valeur initiale) étant choisi, on lui associe la somme des puissances p (p est un entier supérieur ou égal à 1 à choisir) de ses chiffres et on applique à nouveau cette transformation au résultat obtenu et ainsi de suite. Il s'agit d'essayer de voir si cette itération converge vers un point fixe ou vers un cycle (comme pour le cas trivial p =1, avec ses 10 points fixes 0, 1, 2, ..., 9 et le cas p=2 associé à la définition des nombres heureux et malheureux ) en calculant les 100 premiers itérés.Nous parlerons de transformations agréables.
Dans le cas p = 2, pour tout entier initial n strictement positif, on aboutit toujours soit sur le point fixe 1 (n est un nombre heureux) soit vers le cycle d'ordre 8 (42, 20, 4, 16, 37, 58, 89, 145) (n est un nombre malheureux).
Si vous choisissez p=3, vous pourrez constater que l'on aboutit toujours soit sur l'un des 6 points fixes 0, 1, 153, 370, 371, 407 soit sur l'un des 2 cycles d'ordre deux (136, 244) et (919, 1459) soit sur l'un des 2 cycles d'ordre trois (55, 250, 133) et (160, 217, 352).
Dans les autres cas vous verrez que l'on obtient souvent des cycles (d'ordres 2 ou 7 pour p=4, d'ordres 10, 12 ou 22 pour p=5, d'ordres 3, 10 ou 30 pour p=6,...) mais aussi des points fixes autres que 0 ou 1, comme par exemple 1634, 8208, 9474 pour p=4, 4150, 4151, 54748, 92927, 93084, 194979 pour p=5 ou 548834 pour p=6 ou 1741725, 4210818, 9800817, 9926315 pour p=7.
Les points fixes de telles transformations (définies par la puissance p) et qui sont donc des nombres égaux à la somme des puissances p de tous leurs chiffres sont encore appelés des nombres narcissiques d'ordre p. Parmi eux, ceux qui possèdent en outre exactement p chiffres, sont dits narcissiques parfaits (ou nombres plus que parfaits ou nombres d' Amstrong). Il existe 88 nombres narcissiques parfaits (pour la représentation des entiers en base 10) d'après un résultat datant de 1985 (suivant les auteurs, on réserve d'ailleurs souvent le terme narcissique aux seuls narcissiques parfaits...), le plus grand étant un nombre de 39 chiffres. Les premiers nombres narcissiques parfaits sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, ...
Pour aller plus loin, vous pouvez détecter la convergence éventuelle (vers quel point fixe ou vers quel cycle et de quel ordre ?) de ces itérations pour des nombres de grande taille et des puissances p jusqu'à 20 ou 30.
Pour le seul cas p=2 voyez la page des nombres heureux et malheureux.
Pour plus de détails voyez le fichier sur les transformations agréables.