Travail sur les polynômes

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Révision des notions d'analyse combinatoire, formule du binôme, PGCD...

Cette page contient des exercices pour apprendre à simplifier les monômes, les polynômes, les développer... Vous pouvez commencer en consultant la page testmath, dans laquelle vous trouverez des exercices en ligne sur les coefficients du binôme, le calcul de factorielle...

Testez vos connaissances sur l'analyse combinatoire, coefficients du binôme, factorielle...

Si vous consultez cette page pour la première fois, allez directement au titre "Comment travailler..." Sinon, vous pouvez aussi aller directement aux exercices de votre choix, en utilisant les liens sur la même page suivants :

Liens avec les exercices sur la même page

Exercice 1 : travail sur les monômes, conventions d'écriture

Exercice 2 : monômes généralisés, avec des exposants négatifs

Exercice 3 : simplification des polynômes et applications numériques

Exercice 4 : développement de puissances d'une somme, coefficients du binôme...

Comment travailler les exercices de cette page

Dans chaque exercice, vous trouverez des lignes de données, que vous pourrez saisir, si vous le désirez, de la manière suivante : Vous utiliserez le copier/coller pour placer une donnée dans le champ d'édition du lien "saisir", qui se trouve en haut de cette page. Si vous êtes aveugle, vous pouvez réaliser cette opération sans la souris, avec des raccourcis comme ci-dessous.

placez vous au début d'une ligne de donnée avec "flèche bas", puis quand Jaws vous lit une donnée que vous désirez saisir, faites les raccourcis suivants : "maj+flèche bas" puis "ctrl+c" puis "ctrl+page haut" puis "tab" puis "entrée" puis "entrée" puis "ctrl+v" puis "entrée" Ces actions auront permis de saisir la ligne de donnée, sans avoir besoin de la taper, et vous pourrez, s'il y a lieu, lire le résultat courant, avec la commande mmathweb0. En effet, vous vous retrouverez dans la page résultat, dans laquelle se trouve en plus du résultat courant, des liens avec des exécutables comme mathweb0... Le lien "exécuter le résultat courant..." donne parfois l'exécution du résultat précédent, et dans ce cas, vous l'activerez une nouvelle fois, pour exécuter le résultat courant. L'exécution sonore du résultat n'est pas fondamentale, mais il peut servir aux aveugles, pour lire le résultat à haute voix, comme le ferait un professeur au tableau noir.

Dans le texte, vous trouverez des lignes de données qui commencent par un symbole spécial, comme %, $, ou £... Vous pouvez changer ce symbole par un autre, pour vous aider dans votre étude. Par exemple, si vous remplacez le symbole $ par le symbole £, la donnée sera traduite par le dictionnaire algebre.txt, ce qui peut vous renseigner sur la dérivation de fonctions usuelles. En plus des données que vous saisirez par le mécanisme du copier/coller, vous pourrez, bien sûr, taper des données de votre choix, dès que vous maitriserez les conventions d'écriture des formules, pour le calcul formel. Servez -vous du dictionnaire algebreaide.txt, pour connaître les règles d'écriture des formules, en commençant votre donnée par le symbole &. Vous reviendrez dans cette page en faisant une ou plusieurs fois, le raccourci "alt+flèche gauche"

Enfin, quand vous aurez pris connaissance de la syntaxe d'une formule, vous pourrez la saisir directement en utilisant le lien "calcul formel", situé en haut de cette page, après le lien "saisir". Vous choisirez d'exécuter cette procédure, qui fera vos calculs et qui vous donnera la suite des étapes et le résultat final, simplifié le plus possible. Cette procédure ne peut pas traiter tous les cas, et par suite, vous vérifierez l'exactitude des résultats par vous-même.

Exercices sur les monômes

Exercice 1 :

Pour simplifier l'écriture des monômes, on convient d'indiquer la puissance entière (positive) d'une variable, en plaçant simplement cette puissance, juste après cette variable. On écrira par exemple :

%3*a2*b3*x6

Pour encore simplifier l'écriture, il n'est pas obligatoire d'utiliser le symbole "*" pour la multiplication, quand il n'y a pas d'ambiguuïté :

%3a2b3x6

Les coefficients numériques peuvent être écrits à n'importe quel emplacement dans le monôme, et contenir des fractions :

%3/4*a2*5*b3/8

La procédure mathweb0 simplifiera les monômes, en calculant leur coefficient numérique, et en simplifiant les exposants s'il y a lieu :

%3*a2*b3*a5*4*x6

%2*(3*a2*b4)6

Pour les exposant négatifs, on utilisera la division, car l'écriture d'un exposant négatif porterait à confusion :

%3*a2/b3/a5*x6

Faites des essais, en saisissant des monômes de votre choix.

Dans cet exercice, vous allez faire des applications numériques, en remplaçant des variables par d'autres monômes, ou par des valeurs numériques. Pour cela, il suffit de faire suivre le monôme que l'on veut traiter, par le signe ":" puis par l'expression à remplacer :

%3*a2*b3:b=5*a6/8

%4/5*a3:a=6/8

Choisissez des exemples personnels, en les tapant directement dans le champ d'édition du lien "saisir".

Maintenant que vous connaissez la syntaxe utilisée pour écrire les monômes, vous vous entrainerez à simplifier des polynômes. Commencez par des expressions sans parenthèse : 3*a*x2+2*b*x-3*4:b=6+2/3

%a*x+2+3*x*a+5*6

Dans cet exercice, vous allez développer des puissance de facteurs, et retrouver des formules remarquables qui font intervenir les combinaisons.

%(a+b)3

%(a+b)4

%(a+b)5

Vous devez reconnaître, dans ces développements, la règle du triangle de Pascal.

%(1+a)6:a=1

%(a-1)6:a=1

Vous endéduirez des formules remarquables, qui permettent de calculer des sommes de coefficients du binôme.

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