Liens utiles : systèmes dynamiques, fractals, chaos, méthodes de calcul...


Les liens externes qui suivent, sont utilisés pour illustrer des notes d'un cours d'introduction aux systèmes dynamiques, destiné aux étudiants de l'option "transition vers la turbulence", de la maîtrise de mécanique de Toulouse.
Je les ai regroupés dans cette page, pour faciliter le début d'une bibliographie, concernant ce vaste domaine.
Chaque lien est suivi d'un petit commentaire, et sa difficulté est signalée par une, deux ou trois étoiles.
Pour que ces liens soient accessibles aux aveugles, les documents au format PDF ont été remplacé par leur format HTML ou TXT, donnés par google.
Cette page contient des titres, que vous pouvez parcourir avec le logiciel Jaws de revue d'écran, en utilisant le raccourci "alt+F6"
Si un lien ne fonctionne plus, prière de me le signaler en utilisant le lien "écrire à l'auteur" que vous trouverez dans le sommaire de la rubrique "dynaweb"

Les grandes disciplines des mathématiques et de la Physique


Pour connaître les grandes disciplines des mathématiques, vous pouvez consulter le "portail des mathématiques" de l'encyclopédie libre wikipédia.
Vous pouvez aussi consulter le portail de la Physique.
D'une manière générale, vous utiliserez un moteur de recherche, comme google, par exemple, pour compléter cette bibliographie sommaire, avec des mots clefs comme :
bifurcation, chaos, fractal, instabilité, turbulence, systeme dynamique, methode asymptotique, KAM, Poincaré...

 

Systèmes dynamiques


articles de vulgarisation, images de fractals, applications en biologie, économie...


* Lien externe : théorie du chaos
Commentaires :
Fiches de lecture du livre de James Gleik.
Exemples de chaos en biologie, économie... tentative de définition du chaos, invariance d'échelle, fractals dans la nature
* Lien externe : le chaos en Physique et en mathématiques
Commentaires :
Ce sont des pages de vulgarisation, qui s'adressent aux étudiants du DEUG, et qui se lisent facilement.
** Lien externe : la science du chaos
Commentaires : Article de vulgarisation sur le chaos, les fractals...
De nombreuses images de fractals rencontrés dans la nature (fougère, neige, chou fleur...)
Un chapître concerne le chaos dans le système solaire, avec un historique des travaux de Lagrange, Laplace, Poincaré...
* Lien externe : exemples de fractals en biologie
Commentaires :
Site accessible à tous, sans, à partir du collège.
Exemples simples de courbes qui remplissent des surfaces, de surfaces qui remplissent des volumes...
(courbe de Peano, triangle de Serpinski, ensemble de Mandelbrot...)
Illustrations des fractals, dans les sciences de la terre et de la vie (coquillage, poumon, fougère...)

Histoire des mathématiques, vocabulaire et définitions, théories physiques

Lien externe : systèmes dynamiques et chaos (R.L.Clerc)

Commentaires : Dans la page ci-dessus, vous commencerez par lire les rappels théoriques, dans lesquels vous trouverez la définition des systèmes conservatifs, dissipatifs, des intégrales premières du mouvement, des systèmes hamiltoniens, gradients...


* Lien externe : wikipedia, bifurcation theory
Commentaires :
Classification des bifurcations locales et globales.
L'article (en anglais) est accompagné d'images, qui illustrent les bifurcations élémentaires (noeud-col, Hopf poincaré...)
** Lien externe : wikipedia, catastrophe theory
Commentaires :
Article (en anglais) qui donne les grandes lignes de la théorie des catastrophes de René Thom.
Les singularités d'un potentiel V(x) et V(x,y) sont classifiées, dans l'espace des paramètres.
La classification géométrique d'Arnold est signalée.
*** Lien externe : résonances et petits diviseurs
Commentaires :
Cet article d'Etienne Ghys de l'ENS de Lyon, retrace l'histoire de la mécanique céleste, de Ptolémée à nos jours.
Il introduit la théorie KAM, à partir d'un modèle plus simple (perturbation d'un problème de 3 corps avec orbites circulaires)
Il peut être lu par des étudiants de maîtrise de mécanique, car les outils mathématiques restent abordables (séries de Fourier, fonctions presque périodique, mesure de Lebesgue...)
On comprend pourquoi, dans les théories pour l'étude de la turbulence en mécanique des fluides, interviennent des disciplines aussi variées que l'arythmétique (approximation des bons nombres irrationnels, nombres diophantiens, nombre de Liouville...) que les probabilités (abondance des solutions, mesure de Lebesgue, mesure de Baire...)
Il termine par des remarques sur les différences d'appréciation entre les sujets d'intéret, abordés par les mathématiciens ou par les Physiciens.
voir aussi nombres diophanciens, parfaits, amicaux...
Si vous voulez connaître quelques problèmes de la théorie des nombres, consultez la page :
* Lien externe : Diophante, Fermat, Mersenne, Liouville...
Pour connaître la définition des nombres amicaux, parfaits, déficients, abondants, sociables, étranges... consultez :
* Lien externe : wikipedia, nombres amicaux, parfaits...
Pour une liste exhaustive, consultez :
* Lien externe : wikipedia, liste des matières de la théorie des nombres
Parcourez cette liste impressionnante, et reconnaissez des matières que l'on a rencontrées dans l'étude des systèmes dynamiques (fractions continues, suite de Fibonacci, nombre d'or, approximation des nombres algébriques, difféomorphismes du cercle, séries de Dirichelet...)
*** Lien externe : de la mécanique céleste à la théorie des systèmes dynamiques, aller et retour
Commentaires :
L'auteur explique comment la notion d'intégrabilité d'un système dynamique a évolué.
Il montre l'importance prise par la géométrie et les probabilités dans ce domaine (travaux d'Hadamard sur les géodésiques d'une surface de courbure négative, section de Poincaré, variétes invariantes...)
L'auteur termine en posant la question :
Quel est l'apport le plus grand entre les travaux de Poincaré, arnold... et les simulations numériques (Simo...) pour les astronomes (Laskar...)

Articles mathématiques, niveau universitaire

** Lien externe : laboratoire E.Picard de P.Sabatier, dynamiques holomorphes
Commentaires :
Ce site d'A.Chéritat, montre de belles images d'ensembles de Julia, Mandelbrot, Ecalle... réalisées avec maple, ou avec des programmes en Pascal, Borland c, Java
Ces images sont obtenues en itérant des transformations holomorphes, comme z-->z*z+c, par exemple
Les notions de géométrie nécessaires à la compréhension des structures, sont introduites avec un langage simple, accessible aux étudiants d'autres disciplines.

Aspect philosophique


Les vérités ne sont pas toutes les mêmes, en Physique et dans les mathématiques. Il est intéressant de comparer les points de vue différents de Thom et Prigogine
A l'échelle macroscopique, les modèles d'évolution sont dissipatifs, ce qui se traduit par une différence pour l'évolution avec t et son opposé -t.
Cette irréversibilité apparaît clairement dans les réactions chimiques, dans le mouvement du pendule avec frottement, qui ne peut aller que vers son état d'équilibre (en l'absence d'apport d'énergie extérieure)
*Lien externe : morphogénèse
Commentaires :
L'auteur explique les relations entre les formes que l'on rencontre dans la nature et des critères d'optimisation dans un ensemble de contraintes (biologiques ou physiques)
Il expose l'intérêt qu'il peut y avoir (ou non) de reproduire ces formes, pour des applications technologiques.
Il termine en présentant la méthode constructale d'A.Bejan, qui utilise des modèles simples optimisés à différentes échelles (ce qui peut être réalisé avec l'aide de l'ordinateur) pour construire des formes pour les applications, qui s'inspirent de celles rencontrées dans la nature.
*Lien externe : école normale supérieure, géométrie et cognition
Commentaires :
L'article montre l'importance de la géométrie (jointe au geste, au mouvement) pour l'élaboration de théories mathématiques, proches de la réalité de la connaissance. On y trouve des remarques sur la théorie des catastrophes de R.Thom et sur la morphogénèse.
*** Lien externe : philosophie des mathématiques
Commentaires :
l'auteur tente d'expliquer les fondements de la démarche mathématique et de la Physique quantique.

Outils mathématiques


* Lien externe : cours de mécanique des fluides, avec des formules accessibles avec le logiciel JAWS de revue d'écran (niveau maitrise) écoulements géophysiques
Commentaires :
Vous trouverez dans ce cours à option de la maîtrise de mécanique de Toulouse, des exemples de problèmes bien ou mal posés, au sens d'Hadamard.
Vous pouvez aussi consulter les annexes 3 et 4, pour des indications sur la méthode des caractèristiques de Rieman et sur les méthodes asymptotiques (thèorème de Puiseux, pour l'approximation des racines d'un polynôme)
* Lien externe : Annexe 4 du cours "écoulements géophysiques", méthodes asymptotiques
Consultez également l'article de l'encyclopédie wikipedia, sur les méthodes de perturbations :
*Lien externe : wikipedia, méthodes de perturbation
Vous trouverez des indications sur la méthode de Lindstedt Poincaré, pour l'élimination des termes séculaires, pour l'équation de Duffing.
* Lien externe : systèmes dynamiques et chaos (R.L.Clerc)
Commentaires :
Vous trouverez dans cette page du site "sayrac", un historique avec de nombreux liens sur les systèmes dynamiques, ainsi que les principales définitions des notions de base.
(noeud, foyer, col, centre, stabilité, systèmes conservatifs, dissipatifs...)
Un glossaire en français et en anglais, donne la signification des termes utilisés dans l'étude des systèmes dynamiques.
Cette page peut être lue par tous les étudiants, qui possèdent les notions mathématiques du premier cycle.
On peut télécharger des logiciels qui permettent de se familiariser avec la classification des figures d'équilibre de Poincaré, dans l'espace de phase des systèmes différentiels autonomes de R puissance 2.
* Lien externe : exemples de calculs itératifs en ligne
Commentaires :
On trouve des itérations de N dans N (Fibonacci, nombreux heureux...)
Les programmes sont écrits en langage PHP, et exécutés sur le serveur.
Ces exemples montre qu'il est facile de développer des méthodes itératives en ligne, en langage PHP ou Java, pour illustrer le comportement des systèmes dynamiques (méthode de Newton pour la recherche des solutions de f(x)=0, construction d'ensembles invariants d'un endomorphisme de R et de R puissance 2, recherche des bifurcations d'une famille d'endomorphisme qui dépend continuement d'un paramètre...)
voir par exemple :
* Lien externe : itération en ligne de la transformation de Myrberg...
* Lien externe : wikipedia, calcul en virgule flottante
Commentaires :
Représentation des réels, calcul en virgule flottante, simple et double précision...
Il est indispensable de savoir comment sont faites les opérations sur les réels, pour garder un certain recul, par rapport aux simulations numériques.
voir aussi, dans l'encyclopédie wikipedia, les pages sur la simulation numérique, les erreurs et les arrondis, la représentation binaire, hexadécimale...
** Lien externe : wikipedia, théorie des perturbations
Commentaires :
Introduction à la méthode des échelles multiples.
Séries asymptotiques et séries convergentes.
Exemple de l'équation de Duffing, élimination des termes séculaires, méthode KAM...
* Lien externe : wikipedia, méthodes de Newton...
Commentaires :
On trouve l'exposé des méthodes itératives, et en particuliers la méthode de Newton pour la recherche d'un zéro de F(X)=0 dans R puissance n.
** Lien externe : wikipedia, analyse non standard de Robinson
l'analyse non standard introduit 3 nouveaux concepts, pour apréhender les notions d'infiniment grand et d'infiniment petit.
Cette analyse permet de simplifier certaines démonstrations de l'analyse classique du cadre de la théorie des ensembles de Zermelo-Frenkel.
voir aussi : nombres hyperréels, nombre transfinis de Cantor
* Lien externe : wikipedia, approximant de Padé
Commentaires :
La méthode de Padé consiste à développer un nombre réel ou une série entière, en une fraction continue (itération d'une fraction rationnelle)
* Lien externe : wikipedia, équation fonctionnelle
Commentaires :
Equation dont l'inconnue est une fonction. Voir en particulier, l'équation de Schröder.
** Lien externe : un peu de mathématiques
Commentaires :
On trouve des articles sur l'entropie topologique, sur le théorème de Gödel...
Il y a une page intéressante sur les mots sturmiens, avec l'exemple du billard, du développement en fractions continues...
Mais ce site d'un élève de l'ENS_LYON contient &aussi, de nombreuses réflexions philosophiques, d'humour, de commentaires sur l'origine des mots...
Il s'adresse à des étutiants de niveau universitaire, mais il y a aussi des articles de vulgarisation en mathématiques et en Physique.
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