Introduction aux systèmes dynamiques (aspect historique et philosophique)
Le but de cette page,
est de donner une idée de l'évolution de la pensée mathématique sur les systèmes dynamiques,
depuis Newton, Laplace, Lyapunov, Poincaré, Birkhof, Kolmogorof, Thom, Prigogine...
C'est la mécanique céleste, avec le problème des n corps,
qui a suscité le plus de questions et de controverses.
Il a conduit Poincaré,
a formuler la théorie des systèmes dynamiques,
d'un point de vue plus géométrique qu'analytique,
à propos du problème des 3 corps.
Il a introduit la notion d'espace de phase et de trajectoires de phase,
qui permettent une vision globale de l'ensemble des solutions d'un système dynamique.
Ce point de vue semble naturel, mais il n'avait pas été envisagé du temps de Newton et de Laplace.
Le mécanicien ne sera pas dépaysé par le vocabulaire,
car on parlera de flot, de bassin...
Vocabulaire et principales définitions, équilibre, stabilité...
Je ne vais pas donner ici la définition des différentes stabilités
(stabilité asymptotique, stabilité orbitale, stabilité structurelle...)
Il existe des sites très bien faits pour cela.
Consultez, par exemple,
la page "systèmes dynamiques et chaos", de R.L.Clerc,
en utilisant le lien :
Lien externe :
systèmes dynamiques et chaos (R.L.Clerc)
Commentaires :
Dans la page ci-dessus,
vous commencerez par lire les rappels théoriques,
dans lesquels vous trouverez la définition des systèmes conservatifs,
dissipatifs, des intégrales premières du mouvement,
des systèmes hamiltoniens, gradients...
Vou vous familiariserez avec les figures d'équilibre de Poincaré ,
pour les systèmes différentiels du premier ordre de R2
(noeud stable ou instable, foyer stable ou instable, col, centre)
Vous retiendrez comment cette classification a été faite, en fonction des valeurs propres de l'opérateur linéaire tangent,
au voisinage d'un point d'équilibre.
Vous verrez comment cette classification s'applique presque immédiatement,
aux points fixes d'une iteration d'un endomorphisme de R2
Parcourez aussi un petit glossaire en français et en anglais,
et retenez la signification d'expressions comme :
varietés stable et instable issues d'un col, variété homoclinique, varieté hétéroclinique...
Vous aurez des connaissances suffisantes pour comprendre l'aspect historique du problème des 3 corps.
Aspect historique du problème des 3 corps
La mécanique céleste illustre bien comment un modèle plus ou moins exact,
peut suffir suivant les applications que l'on en fait.
Le modèle planétaire de Ptolémée suppose que les planètes décrivent des orbites circulaires,
et son modèle a permis de prédire la fréquence des éclipses sur une durée pas trop grande.
La mécanique Newtonienne a montré que le modèle de Ptolémée était faux,
et que les orbites du problème des 2 corps sont des ellipses,
conformément aux lois de Kepler.
Les nouveaux calculs faits dans ce cadre,
ont permis de préciser les cycles des mouvements des planètes,
mais il restait des anomalies.
Les corrections obtenues en introduisant un modèle,
perturbé par la présence d'un troisième corps,
ont permis de nouvelles découvertes
(existence de Pluton, découverte par Le Verrier,
correction des termes séculaires de Poincaré, existence de solutions non bornées et chaotiques dans le problème du centre...)
Consultez la page suivante,
qui retrace l'évolution de la mécanique céleste, de Ptolémée jusqu'à nos jours :
*** Lien externe :
résonances et petits diviseurs
Commentaires :
L'auteur montre comment les différents modèles de la mécanique céleste,
ont donné des résultats satisfaisants, selon la durée d'observation.
Il explique les grandes lignes de la démonstration du théorème KAM,
à partir d'un modèle plus simple que celui des 3 corps,
en supposant que les orbites sont circulaires.
La lecture de l'article devient un peu plus difficile,
quand les problèmes de résonance introduisent l'approximation d'un nombre réel,
par un nombre rationnel p/q
Le développement en série de Fourier d'une fonction périodique ne s'applique plus aux fonctions presque périodique,
et il faut utiliser les travaux de Rieman, Gauss, Dirichlet, Euler, Bore, Hardy, Hadamard, Valiron...
pour étudier ces fonctions.
Aspect philosophique
Les problèmes de la mécanique céleste,
ont montré que les mathématiques et la Physique sont très imbriqués.
L'article ci-dessous étudie l'apport des mathématiques à l'astronomie, et réciproquement :
*** Lien externe :
de la mécanique céleste à la théorie des systèmes dynamiques, aller et retour
Commentaires :
On commente le problème de "l'intégrabilite" du problème des n corps.
L'auteur se demande ce qui a apporté le plus aux astronomes :
les travaux mathématiques de Poincaré, Arnold...
ou les simulations numériques?
On montre la différence d'approche entre la construction de solutions sous la forme de séries lentement convergente (qui ne donnent pas de renseignements significatifs)
et sur les méthodes de perturbations, qui peuvent donner avec très peu de termes, des renseignements bien confirmés par l'expérience
(séries asymptotiques divergentes, sommation de Borel, algèbres résurgeantes d'Ecalle...)
Les lectures précédentes, montrent qu'il n'y a pas qu'une seule "vérité", pour l'étude scientifique des systèmes dynamiques.
Il y a une dizaine d'années, des discussions enflammées ont opposées le mathématicien R.Thom et le prix nobel de chimie Prigogine.
Il est intéressant de comparer les points de vue différents de Thom et Prigogine
Les anciennes querelles ne sont plus d'actualité,
et il faut utiliser au mieux les différentes approches, en fonction du contexte.
René Thom a écrit :
"Ce qui nuit au vrai, ce n'ai pas ce qui est faux, mais c'est ce qui est insignifiant"
A méditer!
Les grandes idées philosophiques, c'est une chose,
mais elles ne peuvent pas se passer d'outils techniques, qui servent à leur justification.
Je terminerai par des remarques sur ces aspects techniques,
qui ont été marqués par la possibilité d'effectuer maintenant,
des calculs numériques,
en précision arbitraire.
On peut même envisager des applications technologiques,
qui utilisent au mieux les formes rencontrées dans la nature
(morphogénèse et robotique)
Consultez par exemple :
*Lien externe :
morphogénèse
Commentaires :
L'auteur explique les relations entre les formes que l'on rencontre dans la nature et des critères d'optimisation dans un ensemble de contraintes (biologiques ou physiques)
Il expose l'intérêt qu'il peut y avoir (ou non) de reproduire ces formes, pour des applications technologiques.
Il termine en présentant la méthode constructale d'A.Bejan,
qui utilise des modèles simples optimisés à différentes échelles
(ce qui peut être réalisé avec l'aide de l'ordinateur)
pour construire des formes pour les applications, qui s'inspirent de celles rencontrées dans la nature.
Pour un aperçu sur les méthodes de perturbation, echelle multiple, développements asymptotiques valables au grands temps...consultez :
*Lien externe :
wikipedia, méthodes de perturbation
Les résultats de calculs numériques,
pourront susciter la démonstration de nouveaux théorèmes,
ou servir aux applications, dans un cadre précis.
Il est donc important qu'ils soient faits avec le plus grand soin.
Vous trouverez, dans la page suivante,
des remarques sur des calculs itératifs et des tests de redondance,
qui doivent sensibiliser l'étudiant,
au problème de la propagation des erreurs.
suivant : modèles et outils de calcul pour l'étude des systèmes dynamiques
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