Introduction aux systèmes dynamiques (illustrations de comportements dynamiques rencontrés dans la nature)


Je donne dans cette page, des liens externes avec des sites de vulgarisation, dans lesquels on peut voir des images de comportements rencontrés dans les systèmes dynamiques.
Le but recherché ici, est de vous familiariser, avec des objets, qui seront décrits plus loin, par des ensembles mathématiques (ensemble de Julia, fractals de Mandelbrot...)
Vous pouvez commencer par lire les commentaires sur le livre de James Gleik, qui explique pourquoi les études sur l'ordre et le chaos sont devenues à la mode, dans toutes les disciplines :
* Lien externe : théorie du chaos
Regardez ensuite des objets fractals, que l'on rencontre dans le monde animal et dans le monde végétal :
* Lien externe : exemples de fractals en biologie
Vous aurez découvert, en parcourant ces 2 sites, que la nature offre de nombreux exemples d'ensembles de géométrie compliquée.
L'exemple du poumon, montre que la surface occupée par les alvéoles pulmonaires, tend à occuper un "volume", et ceci pour maximiser la surface d'échange, dans un volume réduit.
C'est un premier exemple d'objet fractal, comme les ensembles de Kantor, pour lesquels on peut définir une dimension fractionnaire (dimension de Hausdorf)
On trouvera d'autres exemples, dans le monde végétal, dans lesquels une surface aura tendence à remplir un volume fini, pour maximiser les échanges.
On trouve d'autre exemples en mathématiques, comme des courbes de longueur infinie, qui remplissent une surface (courbes de Péano)
On voit aussi des ensembles fractals au sens de Mandelbrot, pour lesquels le tout ressemble à la partie.
(images de coquillages, de fougères...)
Pour expliquer ce qu'est un objet fractal, on donne souvent l'exemple de la boîte de "vache qui rit", sur laquelle est dessinée une vache, qui porte à son oreille, une boîte de "vache qui rit".
Cette structure se répète donc à l'infini, et un agrandissement de l'objet, fera apparaître, à toute échelle, la même structure. C'est ce que l'on peut appeler une autosimilitude.
Cela donne une première idée de ce que sera une renormalisation.
Dans son livre, James Gleik explique que la théorie du chaos déterministe bouleverse le déterminisme de Laplace, par l'impossibilité de prévoir la solution aux grantes échelles de temps, à cause de la sensibilité aux conditions initiales (de petites causes peuvent produire de grands effets, effet "papillon")
Cela montre l'impossibilité des prédiction à long terme.
Dans sa conclusion, l'auteur explique pourquoi la théorie du chaos est plus qu'un effet de mode, et touche tous les domaines (depuis les mathématiques jusqu'aux sciences de la vie)
* Lien externe : le chaos en Physique et en mathématiques
Commentaires :
Ce sont des pages de vulgarisation, qui s'adressent aux étudiants du DEUG, et qui se lisent facilement.
Le lien suivant, un peu plus difficile, donne une vision assez large, de l'importance des solutions chaotiques que l'on rencontre en Physique et en Biologie.
** Lien externe : la science du chaos
En particulier, on découvre l'importance que le chaos joue dans les systèmes autorégulés, comme le coeur ou le cerveau.
Cela peut expliquer pourquoi ces systèmes s'adaptent très bien aux situations, contrairement à un comportement périodique.
De nombreuses images illustrent le chaos en mécanique céleste, et donne une première idée sur la théorie de Kolmogorof Arnold Moser.
Des commentaires un peu philosophiques sur les théories quantiques, la thermodynamique, la flèche du temps... terminent l'exposé.
Certains passages sont un peu difficile à comprendre, tant que l'on n'a pas introduit un minimum de notions, comme les figures d'équilibre de Poincaré dans le plan de phase d'un système différentiel autonome de R puissance 2, et en particulier, les lignes invariantes issues d'un col.
Ces notions vont s'introduire naturellement, dans la page suivante.
suivant : Introduction aux systèmes dynamiques (aspects historique et philosophique)
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