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Cette rubrique n'est pas un cours à proprement parler.
Elle sert de point de départ,
pour se faire une idée de ce que l'on peut trouver sur le WEB,
pour s'initier aux systèmes dynamiques.
Comment travailler ces notes de cours
La rubrique dynaweb contient des notes,
pour un cours d'une option de la maîtrise de mécanique de Toulouse (transition vers la turbulence).
Avant de parler de la turbulence en mécanique des fluides,
il m'a été demandé de sensibiliser les étudiants aux notions sur les systèmes dynamiques,
en mettant l'accent sur les cascades de bifurcations et la transition vers le chaos.
Vous trouverez dans ces notes,
des liens avec des sites de vulgarisation,
que vous parcourerez pour un premier contact.
Après chaque lien,
j'essayerai de résumer les idées développées dans ces sites.
Ces résumés seront largement commentés dans le cours oral,
pour permettre de travailler à partir des notes, sans l'aide d'internet.
Pour les principales définitions,
indispensables pour étudier les systèmes dynamiques,
vous trouverez des liens avec des pages adaptées aux études en maîtrise de mécanique.
Des liens avec des pages plus philosophiques,
pouront être lues avec profit,
mais elles dérouteront parfois le lecteur par leur "profondeur",
qui fait appel à une grande diversité de disciplines scientifiques.
L'étudiant ne les consultera qu'en dernier ressort.
Pour faciliter la lecture,
tous les liens sont placés dans le texte,
et regroupés dans une page de liens utiles.
J'utiliserai une, deux ou trois étoiles,
pour indiquer le degré de difficulté de compréhension des articles.
Que trouve-t-on,
quand on commence à faire une bibliographie sur les systèmes dynamiques?
On rencontre de nombreux systèmes dynamiques en mécanique,
qui décrivent l'évolution des milieux continus ou discrets.
Ils apparaissent, en général,
comme systèmes d'équations différentielles ou aux dérivées partielles,
avec leurs conditions aux bords du domaine.
L'étudiant est familier avec la recherche d'approximations pour les solutions de ces problèmes,
au voisinage des conditions initiales.
Dans un tel voisinage,
on dispose souvent de bons théorèmes mathématiques,
qui assurent l'existence (locale) d'une solution unique du problème.
Mais rien n'est dit sur le comportement de cette solution aux grands temps!
Comment appréhender la théorie du chaos?
L'expérience et les modèles mathématiques,
permettent d'exhiber des comportement, quand t tend vers l'infini,
qualifiés de mouvements chaotiques, erratiques...
On parle alors de théorie du chaos,
qui fait appel à des connaissances comme les probabilités,
la Physique quantique, la théorie des nombres...
Comme je ne suis pas un spécialiste de tous ces domaines,
j'ai commencé par faire une bibliographie sommaire sur le WEB.
Je me suis vite rendu compte de la nécessité d'avoir une connaissance du point de vue des mathématiciens,
autant que de celui des Physiciens,
dans ce domaine de recherche,
qui n'a pas céssé d'évoluer ces dernières années.
Pour parler sérieusement des problèmes rencontrés en dynamique non linéaire,
il faut possèder une culture assez large.
On peut commencer,
en donnant une description des problèmes rencontrés,
qui n'utilise pas d'outils techniques de résolution
(description avec les mains)
Ceci peut se faire en utilisant des illustrations,
faites à partir d'images ou d'animations,
comme on en trouve dans certains sites de vulgarisation
(photos de fractals, résultats numériques sur les instabilités en hydrodynamique...)
Aspect historique et philosophique
On peut aussi introduire les problèmes, par l'aspect historique de ceux-ci
(problème des 3 corps, évolution de la pensée depuis Newton, Laplace, Poincaré, Lyapunov, Kolmogorov, Melnikov...)
Quand on essaye de comprendre la pensée philosophique des grands savants,
on doit préciser le langage et les méthodes qu'ils ont développés.
Il faut alors se familiariser avec un vocabulaire précis,
qui décrit les objets étudiés, et qui s'introduit par des définitions ou par des propriétés mathématiques.
On découvre l'importance que Poincaré fait jouer à l'espace de phase,
pour la compréhension du comportement des systèmes dynamiques dans leur globalité.
On peut alors décrire les problèmes qualitativement, avec un peu plus de "mathématiques"
Le vocabulaire peut être utilisé,
en même temps que les outils qui permettront leur étude plus quantitative
(bifurcations, transversalité et théorie des catastrophes de Thom, fractals de Mandelbrot et renormalisation...)
Aspect mathématique, modèles, outils de calcul, méthodes asymptotiques
Indépendamment des applications, il est proposé des modèles mathématiques,
qui permettent d'apréhender la complexité,
dans les cas conservatifs ou dissipatifs.
Ces modèles peuvent être des équations différentielles
(équations de Duffing, de Van der POL, pendule de Froude, modèle de Mandelstam...)
ou des équations aux dérivées partielles
(équations de Burgers, de Kuramoto, de Korteveg de Vries...)
des équations à arguments retardés...
Il s'introduit aussi des modèles d'évolution à temps discret,
sous la forme d'itération d'une transformation ponctuelle
(transformations du boulanger, de Myrberg, de Hénon...
Tous ces modèles permettent de comprendre comment peut naitre la complèxité dans les problèmes non linéaires.
Dans les systèmes différentiels du premier ordre autonomes de R2,
avec des second membres polynômiaux,
il n'y a qu'un nombre fini de cellules de Poincaré
(cas intégrable)
La situation est bien différente,
quand on augmente la dimension de l'espace de phase,
ou quand on introduit des seconds membres moins réguliers.
On décrit alors des méthodes qui permettront d'exhiber des solutions,
de démontrer des théorèmes d'existence
(methodes de réduction, section de Poincaré, points fixes de transformations ponctuelles...)
On découvre la richesse des solutions
(périodiques, quasipériodiques, cascade de bifurcations, attracteurs étranges...)
Le calcul numérique peut alors donner des idées sur l'existence de solutions complexes,
que l'on peut rencontrer dans les systèmes dynamiques non linéaires,
avec les réserves qui s'imposent
(méthodes spectrales, résolution de problèmes tronqués, absence de généricité, sensibilité aux conditions initiales...)
La sensibilité aux conditions initiales introduit des notions comme l'entropie topologique,
les densité de mesure invariante...pour essayer de caractériser les mouvements erratiques,
comme en probabilité,
avec les chaînes récurentes irréductibles des processus de Markov.
On voit alors se dessiner quelques différences entre les démarches du mathématicien pur
et celles du mathématicien appliqué, du physicien théoricien
(approximations asymptotiques, méthode des échelles multiples, séries formelles, séries divergentes et résurgence,
méthode du colou de la phase stationnaire ...)
Le mathématicien s'intéresse plutôt à démontrer des théorèmes d'existence,
qui peuvent être obtenus par des séries assez lentement convergentes.
Le physicien se préoccupe davantage d'estimations,
qui peuvent être obtenues par des séries asymptotiques divergentes.
L'exemple de la mécanique céleste illustre bien cette différence :
Le modèle de Ptolémée, bien qu'il soit faux,
a permis de prédire le cycle d'apparition des eclipses du soleil avec une assez bonne précision.
Bien plus tard, le modèle de Ptolémée a été remplacé par les lois de Kepler, confirmées par la formulation de Newton.
Enfin, le modèle des 2 corps a été amélioré, en tenant compte des perturbations dues à un troisième corps,
en tenant compte des ordres de grandeurs des masses respectives du Soleil, de la Terre et de la Lune.
Cela a permis d'introduire des corrections aux mouvements de la Terre (termes séculaires)
Le problème des 3 corps a conduit les mathématiciens a étudier la stabilité du système solaire, avec le problème du centre
(Poincaré, Birkhof, Kolmogorov, Arnold, Moser...)
Les théorèmes deviennent de plus en plus difficiles à démontrer,
car ils essayent d'apréhender des solutions non périodiques, pour des temps qui tendent vers l'infini.
Le phénomène de résonnance, pose le problème de l'approximation d'un nombre réel par un nombre rationnel,
ce qui nécessite des connaissances assez fines en Arithmétique
(approximation des fonctions quasi-périodiques, séries de Dirichlet, fonction Zéta de Rieman...)
Ainsi, le théorème KAM montre qu'il est possible d'avoir des trajectoires chaotiques dans le problème des trois corps,
mais qu'elles sont peu probables!
Le Physicien se contente de savoir que le mouvement périodique des planètes peut durer quelques millions d'années!
Ces différences d'appréciations peuvent se manifester par des pensées philosophiques,
qui peuvent aller jusqu'à proposer de nouveaux cadres axiomatiques,
pour chercher des réponses,
qui ne peuvent pas être trouvées simplement dans les théories existantes
(analyse non standard de Robinson, mécanique quantique...)
Toutes les disciplines scientifiques sont concernées,
de la théorie des nombres à la géométrie supérieure
(développement en fraction continue, groupes de Galois...)
Des chercheurs proposent alors des méthodes plus ou moins euristiques,
pour traiter les problèmes rencontrés en mécanique, biologie, économie, théorie de l'information...
(méthodes de renormalisation en turbulence, méthodes spectrales et formes normales...)
Ces méthodes ne peuvent être abordées qu'en troisième cycle,
car elles demandent une grande disponibilité intellectuelle.
Je me limiterai, dans ces notes de cours,
à donner quelques outils numériques,
pour la résolution approchée de certains systèmes différentiels
et pour des itérations d'endomorphismes de R et de R puissance 2.
Ces outils ne font intervenir que des mathématiques enseignées en deuxième cycle
(théorème de Cauchy, théorème des fonctions implicites, théorème du point fixe...)
On écrira des algorithmes pour la méthode de Newton,
pour la recherche des points fixes et des cycles des endomorphismes de R et R2,
pour la construction des variétes invariantes issues d'un col...
Ils seront utilisés pour prolonger des germes de solutions valables localement.
Dans les problèmes conservatifs,
il faudra veiller à ce que les calculs ne détruisent pas cette propriété.
C'est pourquoi on mettra l'accent,
sur l'élaboration de tests de redondance, sur les calculs en précision arbitraire et la propagation des arrondis...
J'espère que ces remarques éclaireront le lecteur,
pour qu'il puisse travailler, par la suite, sans trop d'empirisme.
suivant :
Introduction (exemples de comportement dynamique dans la nature)
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