Université P. Sabatier Examen de Juin 2007 Ecoulements géophysiques durée 2 heures Les documents ne sont pas autorisés. Les questions demandent des résultats précis, qui devront être encadrés, en indiquant le numéro de la question. Les démonstrations des théorèmes d'existence de solutions locales, par la méthode des caractéristiques, s'appuieront sur des graphiques que l'on dessinera proprement et que l'on commentera. On étudie le mouvement d'un liquide pesant, dans l'approximation en eau peu profonde. Le liquide est au repos aux instants t < 0 et occupe l'espace situé entre deux tranches verticales sur une longueur L et sur une hauteur H0. On pose c0 = racine(gH0) Les équations du mouvement, transformées par la méthode des caractéristiques, pour les grandeurs x,t,u,c = racine(gh) s'écrivent : dx/dt = u + c ; u/2 + c = r ; le long d'une C+ dx/dt = u - c ; u/2 - c = s le long d'une C- Pour t<0, les conditions aux limites sont : u = 0 ; c = c0 ; pour 0 <= x <= L ; On anime brusquement la paroi située en x = 0 pour t < 0, d'un mouvement uniforme défini par : x = -Vt ; t >= 0 ; avec 0 < V <= c0 ; la paroi située en x = L est une paroi fixe pour t < T1, avec T1 <= L/c0 Pour t >= T1, on anime brusquement cette paroi d'un mouvement uniforme vers la droite, défini par : x = L + W(t-T1) ; t >= T1 ; avec 0 < W <= c0 On appellera O l'origine du plan physique, A0 le point de coordonnées x0 = L ; t0 = 0 et A1 le point de coordonnées x1 = L ; t1 = T1 1. Dessiner, dans le plan physique P(x,t) le support des données, en indiquant clairement la valeur des données le long de ce support. 2. Dessiner, dans le plan H(u,c) l'image d'une région E0 d'équilibre, et d'une onde simple centrée OSCD0, dont le front d'onde se déplace vers la droite. On montrera que cette onde est suivie par une solution constante E1, pour laquelle on calculera les valeurs u1 et c1, en fonction de V. On précisera l'étendue de cette onde OSCD0 ainsi que celle de la région E1, dans le plan physique P. Pour cela, on montrera que la caractéristique C- issue du point A1, coupe la droite x = -Vt en un point B1, dont on ne demande pas de calculer les coordonnées. (cette démonstration ne nécessite pas de chercher l'équation explicite de cette caractéristique C- dans l'onde OSCD0) 3. Déterminer la vitesse V de la paroi de gauche, pour que la hauteur d'eau h1 soit égale à H0/4 le long de OB1. 4. Construire dans le plan (u , c) et dans le plan physique P, l'image de l'onde simple centrée OSCG0, issue du point A1, ainsi que la solution constante E2 qui suit cette onde. On calculera les valeurs de u2 et de c2 dans la région E2, en fonction de W. 5. Montrer que les 2 ondes OSCD0 et OSCG0 entrent en interaction, en un point I0 du plan P, que l'on précisera. Dessiner dans le plan (u , c) la région E0E1E2E3, qui correspond à cette interaction. On calculera en particulier, les valeurs de la solution constante u3 , c3 qui existe à la fin de cette interaction. 6. Déterminer la valeur de la vitesse W de la paroi de droite, pour que c3 = 0 Quelle est la valeur correspondante de u3? Construire alors la solution valable pour tout t > 0. On indiquera clairement, dans les plans (x , t) (u , c) et (r , s) les régions E0, E1, E2, E3 et les régions d'interaction entre les ondes OSCD0, OSCG0 et les parois mobiles. Donner une interprétation physique de cet écoulement.