Université P.Sabatier

                   Examen de Juin 2006


                 Ecoulements géophysiques
 
                      durée 2 heures


On étudie le mouvement d'un liquide, homogène, pesant, dans l'approximation en eau peu profonde.
Le liquide est au repos aux instants t<0 et occupe l'espace x>=0, sur une hauteur H0
Les équations obtenues par la méthode des caractéristiques s'écrivent : 
dx/dt = u + c ; u/2 + c = r le long d'une C+
dx/dt = u - c ; u/2 - c = s le long d'une C-
où u est la vitesse horizontale de la tranche située en x à l'instant t, 
et où c=racine(g*H) avec H, la hauteur d'eau en x à l'instant t.

1. Pour t<0, les conditions aux limites sont :
u = 0 ; c = c0 ; pour x>0; avec c0 = racine (g*H0)
On anime brusquement la paroi située en x = 0 pour t<0, d'un mouvement uniforme défini par :
x=-V*t pour t >=0
On suppose que V<2*c0
Dessiner l'image de l'écoulement dans les plans (x,t) (u,c) et (r,s)
On fera figurer dans ces dessins, les images E0 et E1 de 2 régions d'équilibre, 
séparées par une onde simple OSD qui se déplace vers la droite.
On explicitera les valeurs de u,c,r et s dans chacune de ces régions, en fonction de V et c0

2. On appelle A0 le point (x0=L,t0=0) et A1 le point (x1=L,t1=L/c0)
Rechercher l'équation paramétrique de la trajectoire de A1 dans l'onde simple OSD, sous la forme :
x=X(r) ; t=T(r)
On appelle A2 le point (x2,t2) de cette trajectoire, à la sortie de l'onde OSD. 
Dessiner la trajectoire du point A0 dans le plan (x,t) en faisant figurer sur cette trajectoire, 
les points A0, A1 et A2

3. On suppose, dans cette question, 
que la portion de trajectoire A0A1A3 de la question 2. 
est en fait, le mouvement d'une paroi, pour les instants 0<t3 avec t3<t2
On arrête brusquement cette paroi à partir de t=t3.
Dessiner l'image de cet écoulement dans les plans (x,t) (u,c) et (r,s) 
On fera figurer sur ces dessins, 
en plus des solutions E0, E1, et OSD, 
l'image E2 d'une solution d'équilibre, et d'une onde simple OSG qui se déplace vers la gauche.
On explicitera les valeurs de u,c,r et s dans les régions E2 et OSG, en fonction de V et c0
On exprimera, en particulier,la valeur de c sur la paroi fixe pour t>=t3, 
et l'on montrera que le liquide ne baignera pas cette paroi, 
si la vitesse V est supérieure à une vitesse limite Vl que l'on précisera.
On dessinera l'image de l'écoulement, dans les 2 cas V<=Vl et V>Vl
Indiquez par la lettre I, dans les 3 plans (x,t) (u,c) et (r,s) 
une région qui correspond à une interaction d'ondes simples 
(on ne demande pas de construire la solution dans cette région I)

4. Commenter les problèmes qu'il faudrait résoudre, 
si la portion A1A2 du mouvement de la paroi, 
ne correspondait pas à la trajectoire de A1 dans l'onde OSD.