Année 2004-2005  
      
Examen de Juin : écoulements géophysiques

(cours de Monsieur Hartmann)            durée 2 heures

Un liquide homogène pesant occupe le domaine -L < x < L ; 0 < y < H0, aux instants t < 0
La surface libre y = H0 est en contact avec une atmosphère au repos à la pression P0
Les parois situées en x = -L et x = L sont animées pour t >= 0 d'un petit mouvement, défini par :
x = -L - e * X0(t) et x = L + e * X1(t)
où X0(t) et X1(t) sont des fonctions monotones croissantes, dérivables de t, et e est un petit paramètre.
On pose : U0(t) = dX0/dt et U1(t) = dX1/dt
On suppose que : X0(0) = 0 ; U0(0) = 0 ; X1(0) = 0 ; U1(0) = 0

On suppose que le liquide vérifie les hypothèses de Saint Venant, 
que Oy désigne la verticale ascendante, g l'accélération de la pesanteur, 
et l'on pose C0 = racine(g * H0)

1. Dessiner dans le plan physique ( x , t ) le support des données, 
pour des temps finis, dans l'approximation des petites perturbations.
Remarque : on aplatira les données sur les parois mobiles, sur les droites x = -L et x = L, puisque e est un petit paramètre.
On fera figurer le long de ce support,
 les conditions que doivent vérifier les inconnues u et h, si l'on pose : 
U( x , t ) = e * u( x , t ) vitesse de la tranche qui occupe la position x à l'instant t
H( x , t ) = H0 + e * h( x , t ) hauteur de la tranche située en x à l'instant t

2. La linéarisation des équations de Saint Venant,
 autour de l'équilibre U = 0 et H = H0 conduit aux équations :
dh/dt + H0 * du/dx = 0 et du/dt + g * dh/dx = 0
où dh/dt , dh/dx , du/dt et du/dx sont les dérivées partielles premières des perturbations h et u, 
par rapport à t et x
Transformez ce système d'équations linéaires par la méthode des caractéristiques.
Montrez que les caractéristiques physiques dans le plan ( x , t ) sont 2 familles de droites parallèles, 
dont on précisera les pentes.
On désignera par C+ les caractéristiques physiques de pente positive, 
et par C- les caractéristiques physiques de pente négative.
Montrez qu'il existe 2 invariants de Riemann, 
qui se conservent respectivement le long des C+ et des C-
3. Dans le plan physique (x t) on introduit les points A0(-L , 0) et B0(L , 0)
La caractéristique C+A0 issue de A0 coupe la verticale x = L en B1, 
et la caractéristique C-B0 issue de B0 coupe la verticale x = -L en A1
C+A0 et C-B0 se coupent en I0
Construire les images, dans le plan  (u,   h) des triangles A0I0B0, A0I0A1 et B0I0B1
Remarque : on expliquera clairement, comment l'on construit la solution, en tout point de ces triangles, 
en résolvant des problèmes aux limites que l'on explicitera.
4. On appelle I1 le point d'intercection de la C+A1 issue du point A1 avec la C-B1 issue du point B1
Construire la solution dans I0A1I1B1.
Remarque : Comme dans la question 3, vous dessinerez dans les plans  (x ,  t) et  (u ,  h) les images des caractéristiques, 
et vous expliciterez la solution sous une forme paramétrique, 
en utilisant les invariants de Riemann
Commenter la nature physique de la solution, 
en terme d'une suite d'ondes simples et d'interactions d'ondes simples.
5. Application : On donne X0(t) = 0 et X1(t) = t * t pour t >= 0
La solution linéarisée est-elle uniformément valable pour tout t  > 0
Reprenez le problème avec les équations quasi-linéaires de Saint Venant.
Remarque : on ne demande pas de construire explicitement les familles de caractéristiques C+ et C-, 
mais on les dessinera en faisant apparaître clairement, 
les régions dans lesquelles elles sont rectilignes ou curvilignes.