Université P.Sabatier    Examen de Juin 2004    Ecoulements géophysiques 

			durée 2 heures

On étudie le mouvement d'un liquide pesant, dans l'approximation 
en eau peu profonde.
Le liquide est au repos aux instants t<0 
et occupe l'espace situé entre deux tranches verticales.

On rappelle les équations du mouvement, obtenues par la méthode 
des caractéristiques :

	dx/dt = u + c ; u/2 + c = r ; le long d'une C+
	dx/dt = u - c ; u/2 - c = s le long d'une C-

1. Pour t<0, les conditions aux limites sont :
u = 0 ; c = c0 ; pour e*L <= x <= L ;
où e est un petit paramètre positif sans dimension, L une longueur 
et c0 la racine de g*H0; H0>0 hauteur d'eau initiale.
On anime la paroi située en x = e*L d'un mouvement défini par :
x = e*L*cos(t/T) pour 0 < t < t0 où t0 = pi*T/2 ; T constante
 positive ;
x = -e*L*(t-t0)/T pour t >= t0.
La paroi située en x = L est une paroi fixe pour tout t.

Dessinez, dans le plan physique P(x , t) le support des données,
 en indiquant clairement la valeur des données le long de ce 
support.
On placera sur ce dessin, les points A0(e*L , 0) et B0(L , 0)

2. On appelle B1 le point du plan (x , t) de coordonnées 
(L , L/c0-e*L/c0)
 Montrez que le segment A0B1 sépare une région d'équilibre E0, 
d'une onde simple OSD0, qui se déplace vers la droite.
On dessinera, dans le plan H(u , c) l'image de E0 et de 
l'onde OSD0.
Montrez que la caractéristique physique C- issue du point B1, 
coupe le support des données en un point A1(x1 , t1) 
et dessinez dans le plan P, la frontière de l'onde simple OSD0.
(Dans cette question, on ne demande pas de donner l'équation de 
cette C-, ni de calculer les coordonnées du point A1).
On distinguera les 2 cas t0 < t1 et t0 >= t1.
Pour t0 < t1, on montrera qu'il existe une solution 
d'équilibre E1, en contact avec la paroi mobile.
On calculera les coordonnées (u1 , c1) de l'image de cet 
équilibre E1, dans le plan H.
On dessinera, dans le plan (r , s) des invariants de Rieman, 
l'image des solutions E0 E1 et OSD0.

3. Dans toute la suite du problème, on suppose que t0 < t1.
Dessiner dans le plan H, le domaine I1 (d'interaction) 
qui correspond à la réflexion de l'onde OSD0 sur la paroi x = L.
On montrera qu'il correspond à un triangle E0E1E2 du plan H, 
que l'on précisera.
On en déduira l'existence d'une onde simple OSG0 qui se déplace 
vers la gauche, et d'une solution d'équilibre E2,
 en contact avec la paroi fixe x = L.
Dessiner dans le plan (r , s) les images de E0 E1 E2 OSD0 et OSG0.

4. Construire dans le plan P, la solution pour des t d'ordre 1, 
quand le petit paramètre e tend vers 0.
Pour cela, on dessinera le support des données et les 
caractéristiques physiques, en négligeant les termes d'ordre e, 
devant les termes d'ordre 1.
Montrez qu'il se produit une suite d'interactions d'ondes simples, 
qui correspondent aux réflexions d'ondes simples sur la paroi
 mobile et sur la paroi fixe.
Dessinez l'image de ces interactions dans le plan H, 
et calculez les valeurs de c, 
dans les états d'équilibres successifs en contact avec la paroi 
fixe x = L.

5. Dans cette dernière question, on se propose de linéariser les 
équations de St Venant, écrites pour les inconnues H et U, 
autour de la solution U = 0 et H = H0.
Pour cette linéarisation formelle, on pose :
H = H0 + e*h et U = e*u
où h et u sont supposées être d'ordre 1, ainsi que leurs dérivées 
partielles, par rapport à x et t, quand e tend vers 0.
  Ecrire les équations linéarisées pour les perturbations h et u, 
et transformez ces équations en utilisant la méthode des 
caractéristiques.Le résultat était-il prévisible ?
Montrez que la solution du problème linéarisé n'est pas 
uniformément valable, pour des grand temps d'ordre 1/e,
 quand e tend vers 0.