Maitrise de mécanique : année 2002-2003 examen de juin
Ecoulements géophysiques (cours de C.Hartmann) durée 2 heures
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On rappelle que les équations du mouvement d'un liquide pesant, 
dans l'approximation des faibles profondeurs, s'écrivent :
dx/dt = u + c ; u/2 + c = r ; (le long d'une caractéristique C+)
dx/dt = u - c ; u/2 - c = s ; (le long d'une caractéristique C-)

où x,t,u,c,h sont sans dimension et où c est la racine de h.
Le liquide est au repos aux instants t < 0, et occupe l'espace situé entre les 2 parois x = -1 et x = 1, sur une hauteur h = 1
On anime brusquement ces parois aux instants t >= 0, avec les mouvements uniformes définis par :
x = -1 -t ; x = 1 + t ; pour t >= 0
On appellera A0 le point de coordonnées x=-1;t=0 et B0 le point x=1;t=0
1. Dessiner le support des données dans le plan physique P(x,t)
On indiquera la valeur des données le long de ce support.
2. Dessiner dans le plan H(u,c) l'image des 2 ondes simples centrées, issues des points A0 et B0
On fera figurer dans ce dessin, les points E0 E1 et E2 qui correspondent à des solutions constantes. 
On écrira le long de ces images, les abréviations OSD et OSG, pour désigner une onde simple dont le front d'onde se déplace vers la droite, respectivement vers la gauche.
3. Montrer que ces 2 ondes simples se rencontrent et dessiner dans le plan H l'image de la région de leur interaction.
On fera figurer le long de la frontière de cette région, les abréviations OSD2 et OSG2, qui désignent les ondes simples obtenues après l'interaction.
4. Ecrire l'équation de la portion de la C- issue du point I de coordonnées x=0;t=1, contenue dans l'onde simple OSD,  paramétrée par r
Ecrire l'équation de la portion de la C+ issue de I, contenue dans l'onde simple OSG, paramétrée par s
Dessiner dans le plan P l'image des 2 ondes simples OSD et OSG, en faisant clairement apparaître sur la figure, les fronts et les queues de ces ondes simples.
Montrer que la C- issue de I coupe la droite x=-1-t en un point A1
De même, montrer que la C+ issue de I coupe la droite x=1+t en un point B1
(on ne demande pas de calculer les coordonnées de A1 et de B1)
Indiquer clairement sur la figure, les régions E0 E1 et E2, en précisant leurs frontières.
5. Montrer que les ondes simples OSD2 et OSG2 se réfléchissent sur les parois mobiles, et dessiner dans le plan H l'image de ces interactions.
09:54 08/06/04Déterminer la valeur de c le long de ces parois, et caractériser les points où c=0
6. On donne les valeurs discrètes r(i)=1-i/n et s(j)=-1+j/n pour i=0,1...n et j=0,1...n
Décrire la méthode numérique des caractéristiques, en expliquant comment construire de proche en proche, une approximation des caractéristiques physiques dans les régions d'interaction.
Décrivez la nature physique de l'écoulement.