Université P.Sabatier    Examen de Juin 2002    Ecoulements géophysiques 
durée 2 heures
On étudie le mouvement d'un liquide pesant, 

hkdans l'approximation en eau peu 
profonde
Le liquide est au repos aux instants t<0 et occupe l'espace situé entre deux tranches verticales sur une longueur l et sur une hauteur h0
On introduit les variables sans dimension x y t u c où l est l'échelle pour x, h0 l'échelle pour y, l/c0 l'échelle pour t et c0 l'échelle pour u et c, où c0 est la racine de g*h0
Les équations obtenues par la méthode des caractéristiques, pour les
 grandeurs sans dimension x,t,u,c, s'écrivent :
dx/dt = u + c ; u/2 + c = r ; le long d'une C+
dx/dt = u - c ; u/2 - c = -s le long d'une C-
1. Pour t<0, les conditions aux limites sont :
u = 0 ; c = 1 ; pour 0 <= x <= 1 ;
On anime la paroi située en x = 0 d'un mouvement uniforme défini par :
x = -2t pour t >= 0
la paroi située en x = 1 est une paroi fixe pour tout t
Dessiner, dans le plan physique P(x,t) le support des données, en indiquant
 clairement la valeur des données le long de ce support
 On appellera O l'origine du plan physique, A0 le point de coordonnées
 x = 1 ; t = 0  ainsi que A1 le point de coordonnées x = 1 ; t = 1 
2. Dessiner, dans le plan H(u,c) l'image d'une région E0 d'équilibre, et
 d'une onde simple centrée OS, pour laquelle on précisera l'étendue dans le plan 
physique P
3. Montrez que la caractéristique C- issue du point A1 possède une asymptote dont on précisera la direction (on ne demande pas de donner l'expression de 
cette courbe caractéristique)n
Dessinez dans le plan H l'image de la région I d'interaction produite par la réflexion de l'onde simple OS sur la paroi x = 1
Exprimez la valeur de c sur la paroi x = 1 en fonction de r
On appelle Pl le point de la caractéristique C- issue du point A1, qui 
correspond à r = 0
Dessiner dans le plan H l'image de la caractéristique C+ issue du point Pl et montrez qu'elle sépare 2 régions dans l'interaction I pour lesquelles vous 
commenterez la nature physique de l'écoulement
4. Dessiner l'image de cette région d'interaction I dans le plan C des 
variables caractéristiques (r,s)
On indiquera sur le dessin, les points E0 et Pl, image des points de même nom dans le plan H
5. On introduit la méthode numérique des caractéristiques, pour résoudre le 
problème dans la région d'interaction associée à 0 <= r <= 1
Pour cela, on introduit les valeurs discrètes 1 - i/l de r, pour i = 0,1...l
On appelle Pi les points du plan H qui correspondent à ces valeurs discrètes 
de r pour s = 1
Décrivez la méthode de résolution graphique, en vous appuyant sur les images des caractéristiques discrétisées, dans les plans P H et C
(On supposera que l est suffisamment grand pour que l'on puisse approximer 
les caractéristiques physiques dans l'interaction, par leur tangente issue 
des 
points de la discrétisation)
6. Dessiner dans le plan (x,y) l'allure de la surface libre y = h(x,t) pour 
des temps t < 1 ou des t > 1
Que peut-on dire sur la régularité de cette fonction ?