Méthode des caractéristiques

La méthode des caractéristiques concerne les systèmes d'équations aux dérivées partielles quasi-linéaires du premier ordre.
Elle consiste en une reformulation du problème, dans un système de coordonnées curvilignes, appelé les coordonnées caractéristiques.
nous commencerons par le cas particulier d'une seule équation, de la forme :
a*d/dt(u)+b*d/dx(u)=c
où a b et c sont des fonctions de x t et u.
On dit que cette équation est quasi-linéaire, par définition, car elle fait intervenir les dérivées partielles premières de u(x,t) d'une manière linéaire.
La méthode de Riemann consiste à rechercher s'il existe des courbes du plan (x,t) telles que l'équation soit proportionnelle à la dérivée de u le long de ces courbes.
Si l'on introduit une représentation paramétrique des courbes recherchées, sous la forme x=xbar(s) t=tbar(s), le vecteur tangent en un point de ces courbes est proportionnel au premier vecteur dérivé (non nul) de composantes :
d/ds(xbar) d/ds(tbar)
Une conditions suffisante pour que la condition imposée soit satisfaite, est que ce vecteur tangent soit colinéaire au vecteur de composantes (b,a) du plan physique (x,t)
On doit donc écrire :
d/ds(xbar)/b=d/ds(t)/a
On peut alors réécrire l'équation aux dérivées partielles sous la forme :
a*d/ds(ubar)=c*d/ds(tbar)
où ubar=u(xbar,tbar) est la restriction de la fonction u(x,t) à la courbe paramétrée (xbar,tbar)
On se donne des conditions aux limites, pour u(x,t), sur un arc du plan physique (x,t) appelé le support des données.
Quand l'arc sur lequel on se donne u est un intervalle de l'axe des x, on dit que les données sont les données de Cauchy à l'instant t=0.
Quand le vecteur tangent en un point du support des données, est colinéaire au vecteur tangent à la courbe caractéristique qui passe par ce point, on dit que le support a une orientation caractéristique en ce point.
Le nouveau problème consiste à rechercher xbar tbar et ubar au lieu de u(x,t)
La résolution par la méthode des caractéristiques, consiste donc à rechercher localement au voisinage du support des données, une solution paramétrée par l'intermédiaire des fonctions xbar et tbar.
On peut démontrer un théorème d'éxistence local, au voisinage de tout point du support, pour lequel le support des données n'a pas une orientation caractéristique.
Quand le support a une direction caractéristique, le problème aux limites est impossible ou indéterminé.
On peut comprendre le caractère bien ou mal posé du problème, au voisinage du support des données, de la manière suivante (qui décrit la méthode numérique des caractéristiques)
si nous remplaçons les différentielles au voisinage des données, par des accroissements finis, le problème discrétisé s'écrit : delta(x)=b/a*delta(t) et delta(u)=c*delta(t)
où a b c sont évaluées en un point du support.
On remarque que ces relations définissent le vecteur tangent à la caractéristique qui passe par le point (x,t) du support où l'on s'est donné u.
On connait donc la valeur de u en un point voisin de ce point, dans cette direction.
Si cette direction est parallelle au vecteur tangent au support en ce point (x,t) la valeur trouvée sera ou bien voisine ou bien différente de la valeur donnée en un point voisin du support.
C'est ce qui explique pourquoi le problème sera mal posé, pour tout point du support pour lequel celui-ci aura une orientation caractéristique.
Nous exposons maintenant la méthode des caractéristiques, pour un système quasi-linéaire de deux équations aux dérivées partielles du premier ordre, pour deux fonctions de (x,t)
Pour fixer les idées, nous prendrons les équations du mouvement unidimensionnel instationnaire, d'un gaz parfait régulier à chaleurs spécifiques constantes, en mouvement homentropique.
Les remarques que nous ferons pour ces équations de la dynamique des gaz, s'appliqueront à d'autres formulations rencontrées en mécanique des fluides (comme par exemple, aux équations de Saint Venant, pour les ondes de gravité dans les canaux)
Les équations s'écrivent :
(l1) d/dt(rho)+u*d/dx(rho)+rho*d/dx(u)=0
(l2) rho*d/dt(u)+rho*u*d/dx(u)+c**2*d/dx(rho)=0
avec c**2=d/drho(pi) et pi/rho**gamma=constante.
On introduit la combinaison linéaire des équations : l(lambda)=l1+lambda*l2
L'idée de Riemann se généralise sous la forme suivante :
Existe-t-il des courbes du plan physique (x,t) telles que la combinaison l(lambda) soit une combinaison linéaire des dérivées de rho et de u le long de ces courbes.
Cette condition impose :
d/ds(xbar)/coef(rho x)=d/ds(tbar)/coef(rho t) et d/ds(xbar)/coef(u x)=d/ds(tbar)/coef(u t)
où l'on a utilisé la notation coef, pour désigner les coefficients des dérivées partielles de rho et de u dans la combinaison l(lambda)
Il est facile de collecter ces coefficients, ce qui donne :
d/ds(xbar)/d/ds(tbar)=u+lambda*c**2=(rho+lambda*u)/(lambda*rho)
On en déduit que le paramètre lambda doit être l'une des 2 valeurs +rho/c ou -rho/c
Le système d'équations caractéristiques dans le plan physique (x,t) s'écrit alors :
d/ds(xbar)=(u+-c)*d/ds(tbar)
que nous désignerons par les familles de courbes c+ (respectivement c-)
La combinaison l(lambda) donne pour les 2 valeurs trouvées de lambda :
d/ds(u/2+-c/(gamma-1))=0 le long des courbes c+ (respectivement c-)
Ces équations sont parfois appelées équations des caractéristiques dans le plan des fonctions (u,c)
On remarque qu'elles définissent des courbes indépendantes des conditions aux limites, et qu'elles peuvent s'intégrer.
Ces 2 équations s'intégrent le long des courbes caractéristiques du plan (x,t) pour donner :
u/2+c/(gamma-1)=r le long de c+ et u/2-c/(gamma-1)=sigma le long de c-
Les constantes r et sigma sont appelées les invariants de Riemann.
Il n'en sera pas toujours ainsi.
Dans ce cas, on dit que le système est réductible.
On peut faire une analogie entre les équations de la dynamique des gaz et les équations de Saint Venant, dans le cas d'un canal à fond horizontal.
cette analogie montre que rho et u sont associées à H et u, où H est la hauteur totale d'eau (entre le fond et la surface libre)
l'analogie montre que gamma=2.
Quand le fond du canal n'est pas horizontal, les équations de Saint Venant font intervenir un second membre.
Dans ce cas, les invariants de Riemann n'existent pas et le système n'est pas réductible.
Nous terminerons cet appendice, en décrivant quelques problèmes aux limites, pour les équations des ondes de surface en eau peu profonde.
Les équations pour les inconnues H et u s'écrivent :
d/d sigma(x)=(u+c)*d/d sigma(t)
d/d r(x)=(u-c)*d/d r(t)
u=r+sigma
2*c=r-sigma
avec c=racine(g*H)
Le système est un système hyperbolique normal en tout point où les vecteurs tangents aux caractéristiques c+ et c- sont linéairement indépendants.
cela impose u+c différent de u-c, c'est à dire c différent de zéro.
c=0 est équivalent à H=0, ce qui correspond à la cavitation.
c=0 ne pourra se produire que sur la frontière du domaine de résolution dans le plan (x,t)
On remarquera que l'on a choisi de paramétrer les c+ par sigma et les c- par r, ce qui est légitime si r et sigma ne sont pas constants.
Ceci exclut les régions d'équilibre (r=r0,sigma=sigma0) ainsi que les solutions particulières où (r=r0,sigma variable) ou (r variable,sigma=sigma0)
De telles solutions sont appellées solutions par ondes simples.
On peut donner des définitions équivalentes pour les solutions particulières par ondes simples : 1. Une solution par onde simple est telle que son image dans le plan (u,c) est un arc de courbe (r=r0) ou sigma=sigma0 2. elle est telle que une des 2 famille c+ (ou c-) est rectiligne
Dans une région autre qu'une région d'équilibre ou d'ondes simples, on recherchera la solution x,t,u,c paramétrée par r et sigma.
Ce sera le cas, par exemple, pour une interaction de 2 ondes simples
Si on élimine x entre les 2 équations des caractéristiques c+ et c-, par dérivation partielle par rapport à r et sigma, on obtient :
d/dr((u+c)*d/d sigma(t))=d/d sigma((u-c)*d/d r(t))
Si on se souvient que u et c sont des fonctions linéaires de r et sigma, on obtient une équation aux dérivées partielles du deuxième ordre, linéaire, dont les coefficients dépendent linéairement de r et sigma.
Cette équation est appelée équation des télégraphistes (car elle a été rencontrée pour la première fois dans les problèmes de guide d'onde en électricité)
En résumé, la méthode des caractéristiques permet de reformuler le problème initial, en un nouveau problème, paramétré par les invariants r et sigma.
La résolution de l'équation des télégraphistes n'est pas aisée, car c'est une équation aux dérivées partielles linéaire du deuxième ordre, à coefficients non constants.
On peut représenter sa solution dans certains cas, à l'aide d'une fonction hypergéométrique de Gauss.
Dans les exercices, nous nous limiterons à la construction des solutions par ondes simples.
Pour les interactions d'ondes simples, nous construirons une solution approchée, par la méthode numérique des caractéristiques.
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