Problèmes de Neumann et de Dirichlet
Nous étudions ici le caractère bien ou mal posé,
pour les problèmes de Neumann et de Dirichlet intérieurs et extérieurs.
On rencontre souvent ces problèmes en mécanique des milieux continus.
C'est le cas en élasticité, dans l'étude des problèmes d'équilibre des arbres cylindriques.
En mécanique des fluides, on a rencontré ces problèmes dans l'étude des écoulements de liquides parfaits, en mouvement irrotationnel.
Le problème de Neumann s'écrit :
Trouver phi dans un ouvert d, telle que :
delta(phi)=0 dans d
d/dn(phi)=fonction donnée sur la frontière de d.
Quand d est un ouvert borné, on parle de problème de Neumann intérieur.
Quand d est non borné (par exemple l'extérieur d'un domaine fermé borné) on parle de problème de Neumann extérieur.
On distinguera les problèmes dans les ouverts de R2 et de R3.
Les problèmes de Dirichlet intérieurs ou extérieurs, dans R2 et R3, correspondent aux problèmes précédents,
pour lesquels on a remplacé la condition aux limites,
par la donnée de psi sur la frontière de d.
Je commence par l'étude du problème de Neumann intérieur dans R3.
Il faut remarquer que ce problème ne possède pas toujours de solution.
En effet, intégrons les 2 membres de l'équation delta(phi)=0 dans l'ouvert d :
intégrale(dans d)(div(Grad(phi))*dv=0
Comme d est un ouvert borné, de frontière d rond, on obtient, par la formule de Stokes :
intégrale(dans d rond)(d/dn(phi)*ds=0
Cette condition est une condition nécessaire d'existence d'au moins une solution du problème.
Pour le problème analogue mais avec delta(phi)=q (problème de Poisson), on obtient la condition nécessaire :
intégrale(dans d)(q*dv=integrale(dans d rond)(d/dn(phi)*ds
Cette condition globale a une signification physique.
En élasticité, elle traduit la condition nécessaire d'équilibre global d'un problème du type 2 (contraintes données sur d rond)
Pour les écoulements de fluides, elle traduit la conservation du débit global au travers de d rond.
La démonstration du théorème d'existence ne sera faite que pour le cas bidimensionnel (théorème de Harnak)
Pour démontrer un théorème d'unicité,
on utilise une méthode bien connue en mécanique des milieux continus (méthode de l'énergie!)
Comme le problème est linéaire, il suffit d'étudier le problème homogène associé, qui s'écrit :
delta(phi)=0 dans d avec d/dn(phi)=0 sur d rond.
On multiplie l'équation delta(phy)=0 par phi, puis on l'intègre dans d :
On obtient :
intégrale(dans d)(phi,kk*phi*dv=0
où on a utilisé la convention de la virgule, pour indiquer les dérivées partielles, par rapport à x(k).
On remarque que :
phi,kk*phi=(phi,k*phi),k-phi,k*phi,k
La formule de Stokes donne :
intégrale(dans d)phi,k*phi,k*dv=0
pour toutes les conditions sur d rond telles que :
phi*d/dn(phi)=0 sur d rond.
Si phui est de classe C1 dans d, on en déduit que :
phi,k=0 dans d.
Ceci démontre l'unicité de la solution du problème de Neuman à une constante additive près.
Ce qui précède démontre aussi l'unicité de la solution du problème de Dirichlet
(puisque la constante est nécessairement nulle, puisque phi=0 sur d rond)
L'étude des problèmes de Neumann et de Dirichlet
dans les ouverts non bornés est un peu plus technique,
car on ne peut pas écrire directement la formule de Stokes, dans de tels domaines.
On introduit une famille de problèmes bornés en introduisant une surface r=r0, quand r0 tend vers l'infini.
Il faudra ensuite faire des hypothèses sur le comportement de Grad(phi) à l'infini.
L'étude des problèmes bidimensionnels est facilitée par l'utilisation des théorèmes sur les fonctions d'une variable complexe et sur les transformation conformes.
Si f(z)=phi+i*psi est une fonction de la variable complexe z=x+i*y, on a :
d/dx(phi)=d/dy(psi) et d/dy(phi)=-d/dx(psi)
Ces relations (appelées relation de Cauchy) montrent que phi et psi sont des fonctions harmoniques.
Pour un écoulement irrotationnel d'un liquide parfait,
phi et psi s'interprètent comme le potentiel des vitesses et la fonction de courant.
On peut réécrire le problème de Neumann pour phi, en fonction de psi.
Si T est le vecteur déduit du vecteur unitaire N de la normale extérieure à d le long de d rond,
par une rotation de +pi/2, on a :
d/dn(phi)=d/dt(psi)
On peut intégrer la donnée aux limites le long de d rond, ce qui montre que le problème de Neumann pour phi,
se transforme en un problème de Dirichlet pour psi (à une constante additive près)
Dans le cas plan, on aura le choix entre les 2 formulations.
En pratique, on transforme la condition aux limites en fonction de f(z), dans le plan de la variable complexe Z=Z(z),
où la transformation z donne Z représente d conformément sur l'extérieur du disque R>R0.
Dans le plan Z, on écrit la représentation générale d'une fonction holomorphe sous la forme d'un développement en série de Laurent.
On ajoute éventuellement à ce développement, le terme (D-i*gamma)/(2*pi)*log(Z)
En effet, on ne demande pas à la fonction f(z=F(Z) d'être une fonction uniforme, mais seulement à la vitesse d'être uniforme.
Comme w=u-i*v=d/dz(f), on voit que F(Z) doit être une primitive d'une fonction uniforme, ce qui introduit le terme en log(Z).
D et GAMMA sont respectivement le débit et la circulation autour du disque R=R0.
Les conditions à l'infini et sur R=R0
déterminent les coefficients arbitraires qui figurent dans le développement de Laurent.
Ces coefficients sont donnés par les formules usuelles,
qui déterminent les coefficients d'une série de Fourier d'une fonction de théta, périodique, de période 2*pi.
Ce résultat constitue le théorème d'existence, pour des données aux limites assez régulières.
C'est le théorème d'Harnak.
On commencera par traduire les conditions à l'infini,
qui détermineront les coefficients des puissances positives de Z, dans le développement de Laurent de F(Z).
Il sera conseillé de faire les calculs, en conservant les exponentielles complexes,
plutôt que de travailler avec les fonctions trigonométriques.
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