Coordonnées curvilignes et calcul tensoriel


A1 : coordonnées curvilignes et calcul tensoriel.
Dans cette annexe, on exprime les opérateurs usuels en coordonnées curvilignes orthogonales.
Pour cela, on rappelle les règles du calcul tensoriel, mais on ne développe pas les calculs dans des systèmes de coordonnées quelconques.
La notion d'espace vectoriel est bien assimilée, dès le premier cycle.
La notion de tenseur d'ordre 2 s'introduit plus tard, quand on rencontre des applications linéaires, qui font correspondre un vecteur à un vecteur.
Par exemple, en mécanique des milieux continus, le tenseur des contraintes Sigma est le tenseur d'ordre 2, qui fait correspondre le vecteur contrainte au vecteur normal en un point d'une surface.
La notion plus générale de tenseur d'ordre quelconque s'introduit,
quand on rencontre des applications linéaires, qui associent un tenseur à un autre tenseur.
La loi de comportement d'un milieu élastique, en élasticité linéaire,
fait intervenir le tenseur d'ordre 4, qui donne le tenseur Sigma, linéairement en fonction du tenseur des déformations, en théorie des petites perturbations.
On écrit :
sigma(i,j)=lambda(i,j,k,l)*epsilon(k,l)
Les coefficients d'élasticité lambda(i,j,k,l) représentent les composantes du tenseur Lambda, noté :
Lambda=lambda(i,j,k,l)E(i) tensoriel E(j) tensoriel E(k) tensoriel E(l)
Il est hors de propos d'introduire la notion de produit tensoriel d'espaces vectoriels.
Par contre, il est important d'utiliser l'écriture intrinsèque d'un tenseur, pour effectuer les transformations de ses composantes, lors d'un changement de base.
En physique, on travaille avec des espaces vectoriels métriques, pour lesquels on a introduit un produit scalaire,
qui définit les longueurs et les angles.
La notion d'orthogonalité joue un grand rôle pour simplifier le calcul des grandeurs métriques.
Les grandeurs affines, qui n'utilisent que la notion de parallélisme, sont traduites aussi simplement,
que le système de vecteur de base soit orthonormé ou non.
Pour exprimer les composantes d'un vecteur obtenues par parallélisme en fonction des composantes obtenues par projection, on introduit un ensemble de vecteurs de base, appelé la base duale de la base de départ.
Par exemple, dans R2, on construit les 2 vecteurs orthogonaux aux 2 vecteurs de la base donnée.
Pour distinguer les composantes selon l'une ou l'autre des bases,
on introduit des indices inférieurs, et des exposants (indices supérieurs) et on parle de covariance et de contravariance.
On peut écrire, par exemple :
Sigma=sigma(indice i, exposant j)*E(exposant i) tensoriel E(indice j)
avec toujours la convention de la sommation de l'indice muet.
Remarquer que, par convention, la sommation se fait avec un couple indice i exposant i, dans l'écriture ci-dessus.
Quand la base est orthogonale (et non nécessairement orthonormée), il n'y a pa lieu de distinguer les 2 bases, et les indices seront tous au même niveau.
Exemples de tenseurs :
un vecteur V=v(indice i)*E(exposant i)=v(exposant i)*E(indice i) est un tenseur d'ordre 1.Dans la résolution des problèmes physiques, la géométrie intervient par les conditions aux limites.
Le produit tensoriel de 2 vecteurs est un tenseur d'ordre 2 et l'on écrit :
T=t(i,j)*E(i) tensoriel E(j)=A tensoriel B=a(i)*b(j)*E(i) tensoriel E(j). On est amené à choisir des systèmes de coordonnées, dans lesquels les surfaces sur lesquelles on doit écrire ces conditions,
sont des surfaces coordonnées.
Par exemple, si la paroi d'un récipient est un cylindre circulaire d'axe K, on introduira les coordonnées cylindriques (r,théta,z) où z est la coordonnées associée à K.
Ces systèmes de coordonnées seront en général curvilignes, ce qui introduira des fonctions des coordonnées q(i) dans les grandeurs qui dépendent du vecteur position OM(q(i)).
Le calcul de dM donnera des éléments d'arcs, avec des abscisses curvilignes, fonctions (en général non linéaires) de la position M.
Par exemple, en coordonnées cylindriques, on obtient :
dM=dr*E(r)+r*dthéta*E(théta)+dz*E(z)
où rdthéta représente l'élément d'arc de la courbe coordonnée paramétrée par théta, pour r et z fixés.
Les courbes coordonnées paramétrées par ou z sont rectilignes, comme dans un système de coordonnées cartésiennes,
tandis que les courbes paramétrées par théta sont des cercles d'axe oz.
Pour un système curviligne M(q(i)), on écrira l'élément dM sous la forme :
dM=h(1)*dq(1)*E(1)+h(2)*dq(2)*E(2)+h(3)*dq(3)*E(3)
où les vecteurs E(i) sont de norme 1.
Les longueurs h(1)*dq(1)... apparaissent comme les longueurs des éléments d'arc des courbes coordonnées.
Pour simplifier les calculs qui vont suivre, on supposera que le système de coordonnées est orthonormé, c'est à dire :
E(i).E(j)=delta(i,j)
Le calcul des composantes de Grad(f) sur les vecteurs unitaires E(i), résulte immédiatement de la définition de l'opérateur gradient.
df=Grad(f).dM soit :
Grad(f).E1=1/h(1)*d/dq(1)(f)
Grad(f).E(2)=1/h(2)*d/dq(2)(f)
Grad(f).E3=1/h(3)*d/dq(3)(f)
Pour calculer Rot(V), on commence par calculer Rot(E(i)), puis on utilise :
Rot(v(i)*E(i))=Grad(v(i)*E(i)+v(i)*Rot(E(i)
Comme E(1)=h(1)*Grad(q(1), on a :
Rot(E(1))=Grad(h(1)*Grad(q(1)
Comme on a déjà calculé les composantes du gradient d'une fonction, la fin du calcul ne pose pas de difficulté.
On peut écrire le résultat final sous une forme facile à retenir :
On écrit un déterminant dont les lignes sont indiquées ci-dessous :
h(1)*E(1) h(2)*E(2) h(3)*E(3)
d/dq(1) d/dq(2) d/q(3)
h(1)*v(1) h(2)*v(2) h(3)*v(3)
On développe ce déterminant 3 3 suivant la première ligne, et on divise le résultat obtenu par le produit h(1)*h(2)*h(3)
Le calcul de div(V) peut se faire en appliquant la formule de la divergence, à un élément de volume infinitésimal.
L'élément de volume est h(1)*h(2)*h(3)*dq(1)*dq(2)*dq(3)
Les éléments vectoriels d'aire sont h(1)*h(2)*dq(1)*dq(2)*E(3)...
où ... signifie que les autres éléments s'obtiennent par permutation circulaire sur les indices 1 2 3.
En explicitant les flux qui entrent ou sortent au travers des faces du parallélipipède élementaire construit au point M(q(i), on obtient :
div(V)=1/(h(1)*h(2)*h(3))*(d/dq(1)(h(h(2)*h(3)*v(1)+...)
où les termes suivants sont obtenus par permutation.
On en déduit l'expression du laplacien d'une fonction à valeurs scalaires :
delta(f)=div(Grad(f))=1/(h(1)*h(2)*h(3))*(d/dq(1)(h(2)*h(3)/h(1)*d/dq(1)(f)+...)
Enfin, le laplacien vectoriel sera donné par :
Delta(V)=Grad(div(V))-Rot(Rot(V))

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