Toutes les équations considérées ici sont diophantiennes, c'est-à-dire sont polynomiales à coefficients entiers et à solutions recherchées dans l'ensemble des entiers positifs.
Historiquement l'équation de Ramanujan , x² + 7 = 2^k, fait suite à la recherche des nombres triangulaires (m(m+1)/2) qui sont aussi des nombres de Mersenne (2^k - 1); en effet m(m+1)/2 = 2^k - 1 s'écrit encore (2m+1)² + 7 = 2^k+3.
On s'intéresse ici aux équations de type Ramanujan-Nagell de la forme
x² + m = b*2^k,
et on cherche, pour des entiers non nuls m et b, une ou des solutions positives en x, k (bien sûr si x est solution avec un certain k, -x l'est aussi).
On sait que pour b = 1, sauf pour m = 7 (c'est l'équation de Ramanujan qui a exactement 5 solutions), il y a au plus 2 solutions, et exactement 2 pour m = 23 et pour m = 2^j - 1 avec j >= 4.
Au moins pour b = 1, il y a donc une infinité de valeurs de m, telles qu'il y ait deux solutions.
Pour m = 23 et b = 3, 6 ou 12, il y a 4 solutions, avec b = 24 il y a 3 solutions ...
Pour m = 35 et b = 15, il y a une solution, pour m = 39 et b = 13, il y a 2 solutions, pour m = 15 et b = 3, il y a 3 solutions, pour m = 47 et b = 21, il y a 4 solutions, pour m = 119 et b = 15, 30 ou 60, il y a 6 solutions ...
On peut aussi obtenir 1 solution pour m = -123 et b = -21 et 2 solutions pour m = -1025 et b = 1 ...
Notons qu'il a été démontré qu'il y a toujours un nombre fini de solutions.
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